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am 3. August 2008
Der Begriff "Gamma" ist vielen Menschen womöglich vertraut. Gilt das aber auch für die Zusammenhänge, die mit dieser "viertwichtigsten" Konstante der mathematischen Welt verbunden sind? Es ist das noch zu lösende Geheimnis, was Gamma so interessant macht. Denn bis jetzt weiß man immer noch nicht, ob es eine rationale oder irrationale Zahl ist.

Das Buch "Gamma" von Julian Havil führt von der harmonischen Reihe über die Primzahlen und die Zeta-Funktion bis hin zur Riemann-Vermutung. Letztere ist eines der sieben mathematischen Problem, auf deren Lösung das Clay Mathematics Institute als Ansporn je eine Millionen Dollar als Preisgeld ausgesetzt hat - sowie ehemals die vom russischen Mathematiker Grigori Perelman gelöste Vermutung Poincares und Fermats letzter Satz, den Andrew Wiles von der Princton University im Jahre 1995 bewies.

Es ist sehr faszinierend, wie es dem Autor gelingt, einen Bogen von Reihen und Harmonien in der Geometrie bis hin zu der sehr komplexen Riemannschen Vermutung zu schlagen. Gleichzeitig zeigt er die einzelnen Themenblöcke, die für das Verständnis dieser seit fast 150 Jahren bestehenden Vermutung nötig sind, so auf, dass das Buch durchaus auch für Laien, interessierte Oberstufenschüler oder angehende Mathematikstudenten hervorragend geeignet ist.

Zumindest anfänglich benötigt man außerdem noch keinerlei Vorkenntnisse außerhalb des schulischen Wissens - zum Ende hin ändert sich dies dann allerdings etwas. Dort werden einige Begriffe und mathematische Disziplinen aufgezeigt, die wahrscheinlich nicht jedem vertraut sind. Dies stellt aber kein Problem dar, da der Anhang zumindest etwas zu Taylorentwicklungen, Funktionentheorie und der Anwendung der Zetafunktion bietet. Ohne Mühe ist der letzte Teil des Buches ohnehin kaum zu lesen, da der ein oder andere Beweis vielleicht nicht auf Anhieb einleuchtet.

Das mehrmalige Lesen und eventuelle Nachschlagen gewisser Zusammenhänge ermöglichen dann aber den so wichtigen und erfreulichen "Aha-Effekt" - vielleicht löst es sogar ein gewisses Gefühl des Stolzes aus, einen komplizierten Beweis verstanden und begriffen zu haben. So wird außerdem gewährleistet, dass man auch in andere Gebiete der Mathematik vorstoßen und eine Menge Neues lernen kann.

Der Lesespaß wird durch die Einbettung in historische Zusammenhänge gesteigert: Kleine, sehr interessante Anekdoten und historische Überblicke schreiben eindrucksvoll die Geschichte der Mathematik nach - somit ist das Buch nicht zu formellastig. Ganz im Gegenteil liegt der Schwerpunkt auf Texten, und jeder Beweis wird nicht nur mit Hilfe von Formeln und Abkürzungen geführt, sondern zugleich mit sehr guten beschreibenden Passagen.

Die Bandbreite der angeführten Mathematiker von Euklid über Erdös bis Ziegler und Aigner ist erstaunlich. Alle wichtigen Rechenkünstler und deren Beiträge zu Gamma, zur Zetafunktion oder Riemannvermutung werden nicht vernachlässigt. So begegnet der Leser Tschebyschew, Napier, Kepler, Gauß, Hardy und nicht zuletzt Euler, der mit diesem Buch sehr verehrt und zu Recht geehrt wird, schließlich schreiben wir das Eulerjahr 2007.

Die Krönung des Buches ist das Aufzeigen der Riemannschen Vermutung (der Autor gibt jedoch keinen Beweis an!): Nach dem gesamten Vorwissen, das der Autor mit den vorigen Kapiteln gelegt hat, ist es nun ein leichtes diese Vermutung nachzuvollziehen. Manchmal scheint es so, als würde der Autor vom Thema abschweifen, aber in den nächsten Zeilen liest man eine neue Überraschung, mit der man so nie gerechnet hätte - für mich besser als ein Krimi geschrieben.

Empfehlenswert ist dieses Buch also für alle, die sich für diesen Bereich der Zahlentheorie interessieren. Selbst wenn ein Beweis mal nicht vollständig durchschaut wird, macht das für das weitere Lesen nichts, denn die meisten Abschnitte beginnen mit einem neuen. Die einzelnen Themen sind zudem didaktisch sehr gut angeordnet. Und das Literaturverzeichnis ist für weitere Recherchen hervorragend geeignet.

Für diejenigen, die die Spannung, die der Autor während des Lesens geschickt aufbaut, auch genießen möchten, ist "Gamma" eine wahre Goldgrube. Aber Vorsicht: Wenn man das Buch erst einmal in der Hand hat, kann man es nur schwer wieder weglegen.
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am 3. Oktober 2013
Um es gleich vorweg zu sagen: Wem sich die Ästhetik analytischer Formeln nicht erschließt, wird keine Freude an einem Buch haben, in dem sich zahlreiche, aber keinesfalls beliebig zusammengesuchte Perlen der Analysis aufreihen. Dabei ist der inhaltliche Zusammenhang locker gewebt, so dass Abwechslung und Überraschung garantiert sind. Dies kann naturgemäß nicht in lehrbuchartiger Strenge geschehen, sondern folgt eher einer Dramaturgie als einer Beweisarchitektur. Umgekehrt ist dies kein Buch, in dem über Mathematik erzählt wird, sondern in dem Mathematik betrieben wird. Wer seine Grundvorlesung in Analysis gehört hat, findet hier eine Fundgrube gut verständlich geschilderter Ergebnisse und (Beweis-)Ideen. Wer sich nur mit Schulkenntnissen daran wagt, wird die ersten Kapitel über die harmonische Reihe, ihre Teilreihen und die Geschichte der Logarithmenrechnung gut lesen können. Dann wird er mangels Kenntnissen über Taylorreihen (ein wenig hilft der Anhang darüber hinweg) etwas eingeschränkt Freude an Eulers wunderbarem Beweis zur Reihe der reziproken Quadrate haben. Dieser Beweisstil ist typisch für das Buch und man kann es nur unterstützen, wenn sich Anfänger befreit von den Tücken des Konvergenzbegriffs mit dem Pioniergeist Eulers in die Analysis hinauswagen können.

Im kurzen 5. Kapitel tritt dann endlich der Namensgeber des Buches auf: Gamma. Mit der im 6. Kapitel eingeführten namensgleichen Funktion ist die Anfängerherrlichkeit aber wohl doch vorbei, zu dicht gepackt sind die Formeln, in denen Zeta- und Gammafunktion sich die Klinke in die Hand geben. Steigt man mutig über diese Hürde hinweg, kann man noch weitere Schätze heben. Im zweiten Drittel (Kap. 9-14) kommt das Buch in eine Phase, in der es sich dem Titel verpflichtet fühlt. Hier geht es um die Natur der Zahl Gamma, Nährungsformeln zu ihrer Berechnung und das Auftreten von Gamma. Als zweiter Protagonist tritt die schon erwähnte harmonische Reihe in den Fokus, welche beim Kartenmischen, in Effizienzberechnungen für Sortieralgorithmen, beim Sammeln einer vollständigen Serie usf. auftritt. Als dritter im Bunde hat der Logarithmus seinen großen Auftritt im Zusammenhang mit dem Benfordschen Gesetz. All diese Kapitel lassen sich wahlweise diagonal, permutiert oder gar nicht lesen, ohne dass dies auf den Fortschritt zum dritten Teil, dem Höhepunkt des Buches, einen Einfluss hätte.

Die beiden letzten umfangreichen Kapiteln 15 und 16 handeln von den Primzahlsätzen von Gauß und Riemann und der Riemannschen Vermutung. Hier finden wir ein gelungenes Beispiel dafür, wie sich ein dem Laien kaum zugängliches Gebiet zumindest auf einem grundlegenden Studienniveau in großer Klarheit entfaltet, wobei natürlich ein gewisses Maß an Heuristik unausweichlich ist. (Auch M. de Sautoy schafft es in Die Musik der Primzahlen: Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik nicht, dieses Thema "allgemeinverständlich" darzustellen, allerdings ergänzen sich beide Werke auf ideale Weise. Ich habe sie parallel gelesen.) Wer immer eine Einführung in dieses Thema sucht und eine Ahnung von den Originalüberlegungen von Gauß, Tschebyschew, Riemann, Hadamard und von Mangoldt bekommen will, wird hier schnell fündig. Dass es keine Riemannsche Vermutung ohne Funktionentheorie geben kann, ist ein Problem, um das auch dieses Buch nicht herumkommt. Daher gibt es einen umfangreichen Anhang zur Funktionentheorie, dessen Nutzen schwer zu beurteilen ist. Dass das Buch über ein umfangreiches Literatur-, Namens- und Sachverzeichnung verfügt, darf man bei einem Werk aus dem Springer-Verlag voraussetzen. Leider gibt es viel zu wenig Bücher, die das Niveau des mathematisch allgemeingebildetetn Lesers diesseits von eher trockenen Lehrwerken und jenseits sogenannter "populärwissenschaftlicher" Bücher bedienen, bei denen man nur suggeriert bekommt, dass man etwas versteht.
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am 29. Oktober 2010
Dieses Buch ist sehr lesenswert für diejenigen, die sich gerne mit Zahlentheorie befassen. Man glaubt kaum, wo überall Eulers gamma (klein geschrieben), Gamma (Fakultätsfunktion) und die Riemannsche Zetafunktion vorkommen und welche Zusammenhänge es mit Primzahlen gibt. Viele Beispiele in diesem Buch sind wirklich überraschend, so dass man Spaß beim Lesen bekommt und noch mehr über Zahlentheorie erfahren möchte. Das Niveau des Buches ist vergleichbar mit den Büchern über die Geschichten von e und pi, die ebenfalls empfehlenswert sind. Es werden aber schon einige Kenntnisse in Mathematik benötigt. Ein kleiner Nachteil: es sind viele Druckfehler in den Formeln enthalten, was der Übersetzer mir gegenüber sehr bedauert hat. Auf seiner Homepage hat er deshalb eine Korrekturliste zusammengestellt, die direkt zum Nachrechnen auffordert. Insgesamt vier Sterne.
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am 25. Januar 2008
Das Buch ist, durch die Hintergrundgeschichte interessant, leider werden die Herleitungen etwas zu knapp und locker gehandhabt. Zitat "und wie aus dem Nichts...." wird dann der "Beweis" hergeleitet. Deshalb ist das Buch nur für Personen interessant, die sich schon mit der Materie beschäftigt haben. Es wäre besser gewesen, hier mehr Grundlagen und genauere Herleitungen und/ oder Beweise zu bringen. Trotz alledem ist das Buch lesenswert. Aus diesem Grunde gebe ich nur 4 Sterne.
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am 13. August 2012
Um es gleich vorweg zu sagen: Wem sich die Ästhetik analytischer Formeln nicht erschließt, wird keine Freude an einem Buch haben, in dem sich zahlreiche, aber keinesfalls beliebig zusammengesuchte Perlen der Analysis aufreihen. Dabei ist der inhaltliche Zusammenhang locker gewebt, so dass Abwechslung und Überraschung garantiert sind. Dies kann naturgemäß nicht in lehrbuchartiger Strenge geschehen, sondern folgt eher einer Dramaturgie als einer Beweisarchitektur. Umgekehrt ist dies kein Buch, in dem über Mathematik erzählt wird, sondern in dem Mathematik betrieben wird. Wer seine Grundvorlesung in Analysis gehört hat, findet hier eine Fundgrube gut verständlich geschilderter Ergebnisse und (Beweis-)Ideen. Wer sich nur mit Schulkenntnissen daran wagt, wird die ersten Kapitel über die harmonische Reihe, ihre Teilreihen und die Geschichte der Logarithmenrechnung gut lesen können. Dann wird er mangels Kenntnissen über Taylorreihen (ein wenig hilft der Anhang darüber hinweg) etwas eingeschränkt Freude an Eulers wunderbarem Beweis zur Reihe der reziproken Quadrate haben. Dieser Beweisstil ist typisch für das Buch und man kann es nur unterstützen, wenn sich Anfänger befreit von den Tücken des Konvergenzbegriffs mit dem Pioniergeist Eulers in die Analysis hinauswagen können.

Im kurzen 5. Kapitel tritt dann endlich der Namensgeber des Buches auf: Gamma. Mit der im 6. Kapitel eingeführten namensgleichen Funktion ist die Anfängerherrlichkeit aber wohl doch vorbei, zu dicht gepackt sind die Formeln, in denen Zeta- und Gammafunktion sich die Klinke in die Hand geben. Steigt man mutig über diese Hürde hinweg, kann man noch weitere Schätze heben. Im zweiten Drittel (Kap. 9-14) kommt das Buch in eine Phase, in der es sich dem Titel verpflichtet fühlt. Hier geht es um die Natur der Zahl Gamma, Nährungsformeln zu ihrer Berechnung und das Auftreten von Gamma. Als zweiter Protagonist tritt die schon erwähnte harmonische Reihe in den Fokus, welche beim Kartenmischen, in Effizienzberechnungen für Sortieralgorithmen, beim Sammeln einer vollständigen Serie usf. auftritt. Als dritter im Bunde hat der Logarithmus seinen großen Auftritt im Zusammenhang mit dem Benfordschen Gesetz. All diese Kapitel lassen sich wahlweise diagonal, permutiert oder gar nicht lesen, ohne dass dies auf den Fortschritt zum dritten Teil, dem Höhepunkt des Buches, einen Einfluss hätte.

Die beiden letzten umfangreichen Kapiteln 15 und 16 handeln von den Primzahlsätzen von Gauß und Riemann und der Riemannschen Vermutung. Hier finden wir ein gelungenes Beispiel dafür, wie sich ein dem Laien kaum zugängliches Gebiet zumindest auf einem grundlegenden Studienniveau in großer Klarheit entfaltet, wobei natürlich ein gewisses Maß an Heuristik unausweichlich ist. (Auch M. de Sautoy schafft es in Die Musik der Primzahlen: Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik nicht, dieses Thema "allgemeinverständlich" darzustellen, allerdings ergänzen sich beide Werke auf ideale Weise. Ich habe sie parallel gelesen.) Wer immer eine Einführung in dieses Thema sucht und eine Ahnung von den Originalüberlegungen von Gauß, Tschebyschew, Riemann, Hadamard und von Mangoldt bekommen will, wird hier schnell fündig. Dass es keine Riemannsche Vermutung ohne Funktionentheorie geben kann, ist ein Problem, um das auch dieses Buch nicht herumkommt. Daher gibt es einen umfangreichen Anhang zur Funktionentheorie, dessen Nutzen schwer zu beurteilen ist. Dass das Buch über ein umfangreiches Literatur-, Namens- und Sachverzeichnung verfügt, darf man bei einem Werk aus dem Springer-Verlag voraussetzen. Leider gibt es viel zu wenig Bücher, die das Niveau des mathematisch allgemeingebildetetn Lesers diesseits von eher trockenen Lehrwerken und jenseits sogenannter "populärwissenschaftlicher" Bücher bedienen, bei denen man nur suggeriert bekommt, dass man etwas versteht.
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am 4. Mai 2013
Man sollte schon ein wenig mathematisches Vorwissen mitbringen. Das obligatorische Vorwort man käme nicht ohne aus, ist typisch untertrieben. Die Balance zwischen Fachlichkeit und Unterhaltung gelingt nur begrenzt. Um die Zahl fachlich nachzuvollziehen, holt das Buch zu weit aus, um es als Unterhaltungslektüre zu lesen wirkt die Geschichte zu unrund, die Beispiel und Beweise kommen zu holperig daher. Es ist dieser typische Amerikanische Schreibstil, der mitunter zu oberflächlich, zu vereinfachend daherkommt.
Wer sich nicht umbedingt auf Fakultät und Gamma-Funktion eingeschossen hat, möge sich bitte "Das Buch der Beweise[sic!]" beschaffen, da man dort aus verschiedenen Themen auswählen kann.
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am 2. Januar 2015
Ein ausgezeichnetes Buch für den mathematisch Interessierten. Ich have inzwischen 3 Bücher von Hanvil die mir alle gut gefallen. Dies ist das Beste. Leider ist die Übersetzung manchmal holprig. Man muss etwas Hirnschmalz investieren, um z.B. im Kapitel über die harmonische Reihe zu verstehe, wie sie mit Extremereignissen verknüpft ist. Ungeachtet desse, für den Laien, der sich zum Beispiel auch für die Riemannsche Vermutung interessiert, eine sehr lesenwerstes Buch!
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am 22. Juli 2016
Julian Havil war über dreißig Jahre lang Lehrer am traditionsreichen Winchester College, zu dessen Absolventen u.a. G.H. Hardy gehört, und verfasste eine Reihe populärere Werke über die Faszination der Mathematik und ihrer Geschichte.

In der Einleitung nennt der Autor die Euler Mascheroni Konstante die viertwichtigste mathematische Konstante, nach pi, e und i (der imaginären Einheit). Euler bemerkte, dass sich Partialsummen der Harmonischen Reihe und die natürlichen Logarithmen 'gleichermaßen' Unendlich nähern, so dass ihre Differenz einem endlichen Wert zustreben -- eben jener Euler Mascheroni Konstante, die üblicher Weise mit Gamma bezeichnet wird.

Julian Havil nimmt die Konstante Gamma zum Anlass, um über einige bemerkenswerte Errungenschaften der Analysis zu sprechen, die sich rund um diese Konstante gruppieren und die verschiedene Schichten auf dieses Thema eröffnen. Er beginnt mit den beiden 'Zutaten' zu Gamma: Napiers Logarithmen und Oresmes Harmonischer Reihe. Danach spricht er ausführlich über die Zahl Gamma, ihre Abschätzung und Approximation – dabei ist; im Gegensatz zu pi und e, die bekanntermaßen transzendent sind, ist bis heute nicht bekannt, ob Gamma rational ist. Gamma steht ebenso im engem Zusammenhang mit der Eulerschen Gamma Funktion. All diese Beziehungen gehören zur Analysis, sie spielen sich zwischen interessanten Reihen- und Integraldarstellungen ab, und stehen häufig genug mit der Arbeit eines der produktivsten Mathematiker der Geschichte, Leonhard Euler, in Verbindung. Aber bereits Euler erkannt merkwürdige Verbindungen der Analysis zur Zahlentheorie, wie sie sich in der Produktdarstellung der Zetafunktion abzeichnen, die gerade aus den Atomen der Zahlentheorie, den Primzahlen, aufgebaut wird. Ideen, die Dirichlet und schließlich Riemann weiter entwickelten, und dabei werde u.a. Verteilungsgesetze für Primzahlen untersucht, und in diesem Zusammenhang wird auch die Riemannsche Vermutung besprochen.

Der Autor berichtet aber nicht nur ÜBER Mathematik, sondern betreibt sie vorrangig und wendet sich damit an Schüler, Studienanfänger, Lehrer und alle sonstigen Mathematik Enthusiasten, die Darstellung bleibt dabei größtenteils elementar. Nur so kann der Leser in die 'Wunder' der Mathematik aus erster Hand miterleben und nachvollziehen; der darf sich auf viele interessante und zum Teil überraschende Ideen gefasst machen, zu den schönsten Beispielen zählt etwa Erdös's Beweis der Existenz von unendlich vielen Primzahlen.

Der größte Teil des Buches dürfte jedem Studienanfänger zugänglich sein, im Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion werden auch Elemente der Funktionentheorie benötigt, die dabei verwendeten Mittel sind in einem Anhang zusammengefasst.

Im Vorwort lobt Freeman Dyson, der auch Absolvent des Winchester College ist, Havils Stil, mathematische Themen in ihrem historischen Kontext zu entwickeln, und sie somit besonders reizvoll darzustellen.
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am 4. Januar 2008
Das Buch ist einfach lesenswert. Gewisse mathematische Kenntnisse sollten vorhanden sein, um das Buch richtig genießen zu können. Wenn man diese hat, ist es eine wunderbare Lektüre.
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am 24. September 2015
Das Buch gefällt mir wirklich gut, vor allem wie der Autor es schafft die historische Entwicklung der Dinge darzustellen, ohne langweilig zu werden.

Allerdings muss ich einen Stern abziehen da mir nun schon einige Druckfehler in den Rechnungen über den Weg gelaufen sind.

Ansonsten rundum gelungen!
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