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am 3. Januar 2013
Ein erneutes Meisterwerk zur Logik (und ihrer Geschichte) von Dirk W. Hoffmann. Als Mathematiker habe ich mich seit längerem mit dieser Thematik beschäftig. Wäre dieses Buch (sowie Hoffmanns erstes Buch) aber schon früher erschienen, hätte ich mir wohl einige Jahre (und hunderte Seiten Literatur) ersparen können. Der didaktische Aufbau und die historische Herleitung der Probleme (und deren Lösung) sind einmalig.

Das Buch zeigt eindrücklich, dass die grundlegenden Ideen (von Gödel, Russell und vielen anderen Spitzenkräften) bei einer sauberen Darstellung eigentlich sehr einfach verständlich sind, in der gängigen Literatur dazu aber parktisch immer durch einen Schleier von Ungenauigkeiten oder Unvollstänigkeiten (allerdings nicht im gödelschen Sinn) vernebelt werden. Sehr hilfreich ist auch die Einbettung des Hauptthemas in eine Uebersicht der Logik ganz allgemein.

Gäbe es mehr Mathematikbücher bzw. Lehrbücher im Allgemeinen in dieser Form, wäre die Wissenschaft wohl wesentlich weiter als heute.
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am 5. Januar 2013
Hoffmanns Buch kommt wie gerufen für alle denen, wie mir, Hofstadters Buch über Gödel (Gödel Escher Bach) nicht gefallen hat. Das Buchs Hofstadters war zu dick und zu populär. Nagel war schon besser, aber Gödel selbst war immer noch klarer, klarer als Hofstadter sowie als Nagel. Seit kurzem gibt es nun also Hoffmanns Buch, das bringt genau dass worauf ich gewartet habe. Es basiert sich auf die originelle Text von Gödel selbst. Dazu bekommen wir zuerst die Hintergründe, dann die Originaltext und nachher die Verdeutlichung. Die altmodische Notation ist übersetzt" worden in moderne Notation, sodass der Leser sich konzentrieren kann auf was wichtig ist.

Die Art und Weise worauf Gödels Manuskript in das Buch aufgenommen worden ist, ist fabelhaft. Mit geschickten typographischen mitteln ist die Unterscheid zwischen Gödels Text und Hoffmanns text immer klar. Und was wo zu finden ist ist auch ganz deutlich. (Übrigens ist es meiner Meinung nach nur möglich das so zu machen weil Gödel das Original schon so hervorragend strukturiert hatte.)

Ich empfehle es nicht nur jeden Mathematiker die sich interessiert für Gödels Arbeit, sondern auch jedem die daran interessiert ist wie man alte Manuskripten zu leben erwecken kann.
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am 17. August 2016
Mathematiker sind mit recht stolz darauf, dass ihre Wissenschaft eine mindestens zweieinhalb tausendjährige ungebrochene Geschichte aufzuweisen hat, in der ihre Erkenntnisse immer wieder in neuer Form 'aufgehoben' wurden; das hat aber auch zur Folge, dass Studenten gewissermaßen ins Dachgeschoss ihres Fachs einsteigen. Dabei gab es in der Geschichte der Mathematik immer wieder Arbeiten, die regelrechte Erkenntnissprünge oder Paradigmenwechsel ausgelöst haben – dazu zählen etwa Euklids 'Elemente', Gaußs 'Disquisitiones Arithmeticae', Riemanns 'Über die Anzahl der Primzahlen...' und Gödels 'Über formal unentscheidbare Sätze...'. Für die Mathematik gilt, was auch für andere (exakte) Wissenschaften essentiell ist, für ein wahrhaftes Verständnis, ist auch ein Verständnis der Genesis ihrer wichtigen Ideen notwendig – Niels Bohr betonte wiederholt, dass für ein tiefer gehendes Verständnis der Quantentheorie auch dass Wissen, um deren historische Entwicklung unabdingbar ist Die wichtigsten Quellen für solche Erkenntnisse, können am Ende nur die wesentlichen Originalarbeiten sein, allerdings ist deren Studium nicht selten eine Herausforderung – als wissenschaftliche Publikation sind sie i.a. in einem knappen Stil verfasst und sind nur aus einem bestimmten Kontext heraus verständlich; da sind kommentierte Ausgaben solcher Quellen ein willkommenes Hilfsmittel.

Zum Beginn des 20. Jahrhunderts entwickle David Hilbert sein Programm zur Formalisierung der Mathematik, er bediente sich dabei der axiomatische Methode, die bereits Euklid in seinen Elementen benutzt hatte, er formalisierte aber sein Verfahren soweit, dass die Überprüfungen von Beweisen auf – im Prinzip --- auf rein mechanischem Wege durchgeführt werden kann. Hilbert wollte damit ein für alle Mal die Mathematik auf solide, unangreifbare Fundamente stellen, so dass die Antinomien, die etwa in Cantors (naiver) Mengenlehre auftauchten, ausgemerzt werden könnten. Dieses Programm gedieh zunächst prächtig, dann aber erschütterten Kurt Gödel 1931 dieses Weltbild durch die Entdeckung seiner Unvollständigkeits- Resultate.

Es gibt eine ganze Reihe exzellenter Bücher, die sich um eine mehr oder minder allgemein verständliche Darstellung von Gödels Entdeckungen bemühen – etwa E. Nagel, J.R. Newman 'Der Gödelsche Beweis' oder das opulente 'Gödel, Escher, Bach' von D. Hofstadter. Die Texte schaffen einen guten Überblick über Gödels Argumentation; aber erst der Vergleich mit Gödels Originalarbeit zeigt, welches Feuerwerk an Ideen und Einfällen Gödel aufgeboten hat, um sein Resultat auch formal abzusichern.

Dirk Hoffmann hat mit 'Grenzen der Mathematik' bereits 2010 eine ausgezeichnete Einführung in die mathematische Logik veröffentlicht, in der Gödels beide Unvollständigkeitssätze ausführlich erläutert werden. Seine vorliegendes Buch beschäftigt sich nun ausschließlich mit Gödels Originalbeweis seiner Unvollständigkeits- Resultate aus dem Jahr 1931. Für diese Aufgabe ist es wundervoll ausgestattet – es beginnt mit einem Wegweiser, der die 26 verkleinerten Faksimile Seiten mit den Abschnitten verbindet, die die entsprechenden Stellen im Detail analysieren und behandeln. In den ersten Kapiteln wird der historische Kontext von Gödels Arbeit hergestellt, und die notwendigen Voraussetzung zu deren Verständnis gelegt.

In den folgenden Kapiteln entwickelt der Autor konsequent sein Programm: eine detaillierte Beschreibung des formalen Systems P, das Gödel für seine Argumentation verwendete, die Behandlung von primitiv rekursiven Funktionen und Relationen und deren Repräsentierbarkeit durch Formeln in P, und schließlich die Beweise des ersten und zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. Die Entwicklung folgt dabei unmittelbar dem Gödel Paper, wichtige Passagen daraus – Definitionen, Sätze, deren Beweise, oder Erläuterungen – werden jeweils als Faksimile vorgestellt, wonach der Autor den Inhalt mit modernen Bezeichnungen rekonstruiert, ggf. ergänzt und kommentiert. Erst dieses 'Sezieren' des Texts, offenbaren die Tiefe von Gödels fassettenreichen Ideen, mit unter liefert erst eine, auf dem ersten Blick unscheinbare Fußnote, einen wichtigen Hinweis.

Die 'Rekonstruktion' dieser einzigartigen Arbeit ist dem Autor exzellent gelungen, das vorbereitenden Material und eigentliche Tour durch Gödels Ideen, sind fein aufeinander abgestimmt, die wohlausgewogene Gegenüberstellung von Gödels originalen Formeln mit deren sorgfältigen Übersetzungen unter Verwendung von modernen, in der heutigen mathematischen Logik üblichen Bezeichnungen, erleichtert das Verständnis ganz wesentlich. Die Darstellung ist übersichtlich gegliedert, auch dank des eingangs erwähnten Wegweisers, und einer Übersicht der hauptsächlichen Beweisidee. Trotz der im Untertitel versprochen geführten Tour durch Gödels Ideenreich und der Exzellenz des Autors als Tour- Guide, wird der aufmerksame Leser gefordert, die Vielfalt der Beziehung und Konstruktionen erschließen sich sicher nicht beim flüchtigen 'Durchlesen'.
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am 12. Oktober 2014
Unbedingt empfehlenswert! Schritt für Schritt führt der Autor an das Thema heran, dessen Ergebnisse 1931 das mathematische Weltbild erschüttert und eine Grenze der menschlichen Erkenntnisfähigkeit im gleichen Range wie die Heisenbergsche Unschärferelation definiert haben.
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TOP 500 REZENSENTam 5. August 2014
Obwohl Mathematik gewiss nicht eine meiner größten Stärken ist, hat mich das Buch sehr begeistert, und zwar vor allem aufgrund von drei Stärken:
- Aufbau
- Genauigkeit
- Didaktik

Als sehr hilfreich fand ich beispielsweise das Kapitel 2 "Die formalen Grundlagen der Mathematik", wo mir erstmalig schlüssig dargestellt wurde, wie die Mathematik zu ihrem heutigen Formalismus bzw. ihrer Sprache kam und welche Zwischenschritte und teilweise auch Irrungen und Wirrungen dazu erforderlich waren. Ohne einen solchen Formalismus wären die Gödel'schen Sätze beispielsweise überhaupt nicht formulierbar gewesen. Ich habe in diesen Abschnitten sehr viel dazu gelernt.

Mindestens genauso hilfreich war die durchgehend sehr präzise und auch vollständige Darstellung. Nirgendwo hatte ich das Gefühl, dass da noch ein paar Zwischenschritte fehlen, über die ich mal wieder elegant hinwegsehen muss, oder dass alles sowieso zu kompliziert ist. Wer sich Zeile für Zeile durch das Buch wühlt und sich wirkliche Mühe gibt, hat - anders als etwa bei Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band - meiner Meinung nach selbst als Nicht-Hauptfach-Mathematiker gute Chancen, die Gödel'schen Sätze zu verstehen. Hinzu kommt, dass das Buch ganz hervorragend lektoriert ist. Ich bin kaum einmal über Fehler gestolpert (eine seltene Ausnahme: Auf S. 28 oben heißt es "Die Korrektheit und die Widerspruchsfreiheit sind Begriffe, die einen Zusammenhang zwischen der syntaktischen und semantischen Ebene herstellen." Hier hätte es meiner Meinung nach "Die Korrektheit und die Vollständigkeit ..." heißen müssen. Ich habe sicherheitshalber Sheldon um Rat gefragt, und selbst er hat gemeint, dass ich trotz meiner minderwertigen Schulbildung und zu seinem allergrößten Erstaunen in diesem Punkt ausnahmsweise einmal recht haben könnte...).

Schließlich: Das Buch ist auch didaktisch gut verfasst: Zahlreiche gut gemachte Beispiele und Abbildungen unterstützen den Lernprozess, zumal die ständigen direkten Vergleiche mit Gödels ursprünglicher Beweisführung sehr hilfreich und gelungen sind. Man erfährt ganz nebenbei, wie Gödel seinen Beweis selbst verfasst hat. Der Untertitel "eine geführte Reise" trifft es deshalb sehr gut.

Wer sich für die bedeutsamen und über die Mathematik hinausreichenden Gödel'schen Resultate interessiert und es ausnahmsweise einmal ganz genau wissen möchte, dem kann ich das Buch ans Herz legen.
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am 23. Juni 2013
Das Buch ist hervorragend: Jede Aussage der Gödel'schen Unvollständigkeitssätze wird analysiert, erklärt und -falls nötig - in heutige Schreibweise umgesetzt. Der Inhalt wird jedem Leser mit geringen (undergraduate) mathematischen Grundlagen verständlich.
Die Entstehung des Problems in der Geschichte des menschlichen Denkens wird auf faszinierende Weise dargestellt.
Die Beschreibung der wissenschaftlichen Kreise in den ersten Jahrzenten des XX Jahrhunderts, das Streben nach Beweisbarkeit und Wahrheit, das Mitwirken Hilberts, Russells usw. usw. fesseln wie der schönste Roman.

Das Buch ist so schön geschrieben wie Heusers Lehrbücher der Analysis
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TOP 1000 REZENSENTam 23. August 2014
und ab einem bestimmten Punkt braucht man einen Reiseführer. "Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis" der Titel ist Programm. Mit viel Wagemut begibt man sich auf eine Reise in die Geschichte in die bewundernswert fremde Welt der Gedanken der großen Mathematik des vorletzten und des letzten Jahrhunderts.
Sicher ist nicht alles auf Anhieb verständlich und kann es ohne intensives Studium diverser Sekundärquellen auch nicht werden, aber wie bei jeder guten Reise (man wird doch nie zum Einheimischen) verbleiben wunderschöne Eindrücke und ein Gefühl der Sehnsucht.
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am 8. September 2014
Kein 5 Sterne Buch!
Falls sie dennoch mit dem Gedanken spielen es zu lesen, sollten sie einen Hochschulabschluss haben, was meiner Auffassung nach mindeste Voraussetzung ist um dem Autor auch nur halbwegs zu folgen. Eigentlich ist dies kein (wirklicher) Kritikpunkt, allerdings soll dieses Buch eine „geführte Reise“ sein, dann sollte man auch sagen > für wen< sie das ist!
Es kann ja wohl nicht sein das der Leser seine Intelligenz einsetzen muss damit der Autor gute Kritiken dafür bekommt. Durch was für einen Wust und Wirrwarr man sich hier schon in der Einleitung kämpfen muss, ist mir völlig unverständlich.
Als Freund der Mathematik weiß ich das man ein Buch auch „aktiv“ lesen muss, Bleistift und Papier gehören für mich genauso dazu wie „Internetrecherche“.
Wirklich wichtig sind Definitionen! Es kann doch nicht sein das nach einer Definition ein Symbol auftaucht über dessen Bedeutung der (ungebildete) Leser im dunkel gelassen wird. Nun taucht in Definition 1.2 eine Erklärung für dieses Symbol auf, welches nach der Definition wieder eine „extra Bedeutung“ bekommt die nun erst schlüssig ist. Da stellt sich mir die Frage: Ist das Buch Korrektur gelesen worden?
Stellen sie sich vor, sie bekommen eine Aufgabe gestellt, frohen Mutes gehen sie diese Aufgabe an,
nur um im nächsten Kapitalabschnitt zu erfahren → unlösbar weil...
So eine Vorgehens Weise bringt nur „miese Kritiken“ … kein Lob von mir dafür!
Dieser „schlechte Stil“ zieht sich wie ein roter Faden durch das Buch.
In Kapitel 3.2 stellt sich mir die Frage: Welcher Leser kennt wohl die Gauß-Klammer und dessen Bedeutung? Nicht die als „ Gödelnummer“ definierte, sondern die weiter unten im Exponenten auftauchende. Was mir beim lesen erst gar nicht auffallen ist, da ich die englischen Sprache beherrsche,ist die mangelhafte Übersetzung das „Original Textes“. Unglaublich...
Nach dem ersten Absatz von Kapitel 4.5 habe ich das Buch zur Seite gelegt und mich entschlossen es jemanden zu schenken den ich nicht leiden kann...
Das Ende von Kapitel 3.2 und der Anfang Kapitel 4.5 passt einfach nicht zusammen...
So, genug gemeckert.
Es stellt sich noch die Frage: Warum habe ich dieses Buch den nun überhaupt gekauft!?
Im Freundes Kreis diskutierten wir eine Frage des ersten Kapitel aus dem Buch „ Mathematische Exkursionen“ von Dobrowolski. Frage: Wenn Gott allmächtig ist kann er dann einen Stein erschaffen den selbst er nicht tragen kann? ( dies ist meine Interpretation der Frage)
Grundlage der Diskussion war nun, man tausche „Gott“ gegen Vollständigkeit und Macht gegen Beweisbarkeit, kann man nun Gödel „widerlegen“ oder gar diese Logik selbst? ;-)
Ich wollte mir mit dem Buch von Herrn Hoffmann Klarheit darüber verschaffen ob es Gödel gelungen ist hier eine „versteckte Tautologie“ zu erschaffen, oder eben nicht.

Dieses Buch bekommt einen Stern von mir, weil es mir Spaß gemacht hat aufkommende Fragen selbst zu klären. Wie man diesem Buch 5 Sterne geben kann wird mir ein Rätsel bleiben.
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am 11. Oktober 2014
Über die Qualität des Buches kann ich wenig sagen. Das Problem ist, dass sowohl aus der Buchbeschreibung als auch aus allen 5-Sterne-Rezensionen nicht hervorgeht, dass das Buch gespickt ist mit Formeln. Von einer allgemeinverständlichen Einführung oder gar Erläuterung kann absolut nicht die Rede sein, wird aber - wie gesagt - sugeriert.
Eigentlich gilt die Wertung daher nicht dem Buch direkt, sondern dem Zusammenhang, in dem es von Amazon präsentiert wird. Hier wäre eine Leseprobe hilfreich, zumal der Preis mit fast 25,00 € auch recht happig und damit sehr ärgerlich für einen Fehlkauf ist.
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am 21. November 2012
Ich möchte mich vor stellen; ich bin promovierter Physiker. Douglas Hofstädter " GEB " ist ja Sohn eines Nobelpreisträgers; der hat ein Buch über Gödel verfasst. Ich selber habe keine Preise; bei mir reichts nur zur Rezension bei Amazon ( Najaa; ich war mal " Regionalsieger " in der Mathe-Olympiade. )
Gleich vorweg. Ich habe dieses Buch ( noch ) nicht gelesen; dieses Manko gleiche ich aus mit 3 Sternen Bewertung. Mag dies eine historische Führung durch Gödels Beweis sein, wie der Klappentext verheißt. Mathematik ist keine historische Wissenschaft; und in diesem Sinne möchte ich dem Leser ein paar unortodoxe Ideen näher bringen, von denen ich einmal unterstelle, dass sie die Lektüre eines Gödelbuches erleichtern.
Worum geht es überhaupt; in " welchem Film sind wir? " Wer die Gödelarbeit verstehen will, dem empfehle ich immer, zuerst von Edgar Allen Poe die Kurzgeschichte zu lesen " The Red Death " Genau darum geht es nämlich. In der Zeitschrift Spektrum fand ich folgende Anekdote:

" Gödel muss essen, sonst stirbt er. Wenn er aber etwas zu sich nimmt, könnte sein Essen ja vergiftet sein ... "

Gödel muss man sich als Kauz vor stellen. Der einzige Unterschied zu Karl Valentin, den ich sehe: Valentin war Schreiner, Gödel Mathematiker ... Valentin bewirkte nichts, außer die Lachmuskeln seiner Zuschauer zu reizen. Und Gödels Ergebnisse sind derart schrullig, dass die mathematische Fachliteratur ( Algebra & Topologie ) darüber zur Tagesordnung über geht.
Valentin spielte sich selbst; und Gödel gab seinen Beweisen das Gepräge seiner tief innerlich zerrissenen Persönlichkeit.
Karl Valentin stellt fest, dass er vom Bahnhof Vorderhupfing nur 30 min nach Hause hat; er fährt aber weiter bis Hinterhupfing, weil er versehentlich eine Fahrkarte bis Hinterhupfing gelöst hat. Obwohl sein Heimweg jetzt 60 min beträgt.
Auf dem Heimweg in der Dunkelheit fühlt er sich von einem " Räubersmann " bedroht. Bei der Polizei wird er später zu Protokoll geben

" Ich begab mich unter die nächste Straßenlaterne. "
" Befand sich denn die zweifelhafte Gestalt dort? "
" Naa; aber im Dunkeln sigii ja nix ... "

Die bisher modernste Anwendung des Gödelsatzes; den absoluten Virenschutz für deinen PC kann es nicht geben ( Vor Gödel wäre ja denkbar gewesen, dass jemand die ultimative Antiviren-Software verkauft. )
Ich unterstelle mal, dass auch dieses Buch gleich " GEB " erklärt, was es mit dem ===> Gödelisieren auf sich hat - aus unserer modernen Zeit des ASCII-Codes schlechthin nicht mehr weg zu denken. Wie geht Gödelisieren? Ein Skandalon, dass dies von einem Witz für Grundschulklasse 3 erklärt wird; auch mich haben sie damals rein gelegt.

" Sag mal; wie heißt du? " " Karl-Otto Eimer "
" Sag mal ' Wie heißt du ' " " Wie heißt du " ?

Was immer wieder Kopf Schütteln erregt: Die Beweistechnik, die Gödel Standard mäßig einsetzt, ist Selstbezüglichkeit. Im Grunde sind alle seine Beispiele ja Sinn los - wenn man etwa davon aus geht, dass ein mathematischer Lehrsatz Aussagen etwa über Dreiecke oder Gleichungen macht. Schon die Antike ( die waren auch nicht auf den Kopf gefallen ) kannte das Lügnerparadox

" Ich bin aus Kreta. Alles, was die Kreter sagen, ist gelogen. "

So weit mir bekannt, empfing Gödel aus diesem Beispiel seine Erleuchtung; er leitet einen korrekten Lehrsatz " G " ab

G : " Der Satz G ( Selbstbezüglichkeit ! ) ist falsch dann und nur fann, wenn er beweisbar ist. "

( So lange wir noch keinen Beweis gefunden haben, können wir noch hoffen, dass er wahr sein könnte; siehe Valentin und die Laterne. )
Aber inhaltlich ist G doch Sinn los. Nur eben sehr prekär und fatal, dass sich die Situation kein bissele besstt, wenn du statt " G " sagst ===> Zahlentheorie .
( Wer ist Gott? Was " weiß " Gott über die Zahlentheorie? )
Aus dem " GEB " kenne ich ja das ===> Turingsche Halteproblem; steht das auch da herinnen? Und hier ist nun der Ort, für ===> Edward Nelson und seine Non-standard-Analysis ( NSA ; IST ) ganz kräftig die Werbetrommel zu rühren, zumal aus Zahl reichen Telefonaten hervor geht, dass deutsche Matheprofs den Nelson nicht wirklich ernst nehmen.
Am Ende der Welt stehe ein Diamantberg, lehren die Gebrüder Grimm. Und alle tausend Jahre wetzt ein Vogel den Schnabel daran. Und wenn dann der ganze Berg ab getragen ist, sei eine Sekunde der Ewigkeit verstrichen.
Das ist Non-Standard; eine zwar endliche Zahl. Aber so groß, dass du sie nicht mehr benennen kannst. ( Interessierte Mathematker, die das hier lesen, sind herzlich eingeladen, sich mit mir auf eine axiomatische Debatte ein zu lassen. )
Hofstädter nun beschreibt das Halteproblem derart kompliziert und selbstbezüglich, dass ich es nicht mehr zu referieren vermöchte. Aus der Lektüre heraus habe ich es jedoch als gehorsamer Nelson-Adept sofort in NSA übersetzt - und siehe da; Gödel verliert die ganze prekäre Selbstbezüglichkeit ( Von meinem Charakter bin ich das genaue Gegentum von Gödel; ich denke immer ganz naiv geradeaus. )
Du schreibst ein Basic-Programm mit einer For Next Schleife, die bis zu der ( Non-Standard ) Zahl n0 läuft. Angenommen es gäbe eine Subroutine

" Standard ( n ) "

die testet, ob ein gegebenes n = Standard. Wenn Nein, dann setze ein Stopflag.
Die Bedingung wird immer verpasst, weil es keine kleinste Non-Standard-Zahl gibt.
Eine solche Subroutine kann es nicht geben.
Kompliziert wird die Chose erst dadurch, dass du " standardisierst " (Nelson selbst musste die Erfahrung machen, dass selbst die genialsten Mathematiker nicht begreifen, was das heißen soll. )
Du verlangst ein STANDARD Halteproblem; und die klingen alle so geisteskrank ...
Hier ist möglicher Weise das Forum, wo Nelson endlich seinen wohl verdienten Durchbruch erleidet.
Seit Gödel heißt Beweisen: Assemblercode schreiben, der in n Schritten zur Behauptung führt.
Ehre, wem Ehre gebührt. Den Computer hat nicht Konrad Zuse erfunden oder ( Wie heißt dieser Ami? ) sondern Kurt Gödel ===> Berechenbarkeit.
Und im Rundfunk brachten sie immer wieder, es könnte sich heraus stellen, dass der ===> große Fermatsatz oder die ===> Goldbachvermutung unentscheidbar, unbeweisbar sein könnte. Da kann ich nur müde lächeln ...
Beide Probleme sind " Typ F " ( F in loser Anlehnung an Fermat ) Ein Problem P heiße Typ F , wenn du eine Subroutine schreiben kannst

" Subroutine P ( n ) "

die für jedes konkrete n in höchstens A ( n ) Assemblerschritten entscheidet, ob P ( n ) wahr ist.

" Man kann aber nicht alle natürlichen Zahlen durch probieren. "

Wieder schreibst du deine For Next Schleife von 1 bis Non-Standard n0. Nach dem Transfer Axiom der Nelsontheorie hält die Schleife wenn ÜBERHAUPT , so für ein Standard k0 < n0 an. Hält sie nicht an, ist somit der Satz BEWIESEN. ENTSCHEIDBAR ist er immer ...
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