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am 16. Mai 2014
Ich habe das Buch gern gelesen, gibt es doch einen guten Einblick in die mathematische Logik. Die Gedankengänge und Ideen von Gödel und anderen werden erklärt und gut aufbereitet. Die Abbildungen sind farbig und die Formatierung hat eine sehr gute Qualität. Ich kann das Buch jeden an Mathematik interessierten Studenten nur empfehlen.
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am 27. August 2014
Insbesondere leicht verständliche Einführung in die sog. Gödelschen Unvollständigkeitssätze, wie ich sie in derAusführlichkeit bisher noch nirgendwo gefunden habe. Absolut Top!
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am 14. November 2015
Mir ist noch nie ein Buch begegnet, indem die sehr schwierigen Fundamentalsätze der Mathematik dermassen verständlich dargestellt sind. Man wird hier durch die Fundamente der Mathematik/Informatik geführt und erhält die Chance, vieles um sehr viel tiefer verstehen zu können, als man es selbst vorher für möglich gehalten hat. Der ideale Leser mag jemand sein, der ein Informatikstudium wohl schafft, an einem Mathematikstudium aber scheitern dürfte. Es ist sehr, sehr gehaltvoll. Und spannend wie ein Thriller. Nur dass die Hauptfiguren eben keine Helden oder Bösewichte sind, sondern Theoreme oder besondere Zahlen. Klingt seltsam? Ist aber so.
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am 3. November 2013
Meiner Meinung nach präsentiert dieses Buch die interessantesten Themen der Mathematik sehr strukturiert und anschaulich. Das Niveau ist aber beachtlich und es könnte auch als Skript für eine Universitätsvorlesung dienen. Eine absolute Kaufempfehlung für alle die eine intellektuelle Herausforderung suchen und ihren Horizont erweitern möchten.
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am 25. September 2015
Ich halte das Buch für das interessanteste Buch über Mathematik, das ich je gelesen habe. Das Buch ist sicher nicht ganz einfach, aber gerade daher versteht man viele Sachverhalte um ein Vielfaches besser, als in vergleichbaren Büchern. Ich selber habe es im Abstand von einem Jahr gleich zweimal gelesen – zum Einen weil ich schon wieder so viel vergessen hatte und weil ich den Eindruck hatte, beim ersten Lesen doch einiges nicht mitbekommen zu haben.
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am 28. März 2015
Das Buch beinhaltet verschiedene Systeme von Logik: Aussagen-, Prädikatenlogik erster und höherer Stufe.
Fundamente der Mathematik, wie die Peano Arithmetik. Mengenlehre mit Ordinal- und Kardinalzahlen.
Zum Inhalt gehören ferner die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, Allgorithmische Informationstheorie und Modelltheorie. Die Notationsweise in den verschiedenen Kalkülen ist manchmal etwas unübersichtlich und teilweise auch umständlich. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben, deren Lösungen Webcode basiert, über eine bestimmte Internetadresse als PDF-Musterlösungen aufgerufen werden können.
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am 5. September 2016
Dirk Hoffmann lehrt Informatik an der Hochschule für Technik und Wirtschaft Karlsruhe und veröffentlichte bereits verschieden Lehrbücher über Informatik, zu Gödels Unvollständigkeitssatz und zur Relativitätstheorie, sein vorliegendes Werk bietet, wie der Untertitel bereits andeutet, eine Einführung in die mathematische Logik und führt den Leser dabei bis zu den Grenzen der Mathematik.

Das Buch beginnt mit einem kurzen historisch Abriss: über zwei Tausend Jahre galt das axiomatische System der Geometrie, das Euklid in den Elementen formulierte, als Maßstab für Exaktheit und Präzision einer Theorie schlechthin – Generationen von Studenten, zu denen auch der junge Einstein gehörte, begeisterte die kristallene Klarheit von Euklids Methode. Erst David Hilbert ging mit seinem Programm der Formalisierung der gesamten Mathematik – rund um das Jahr 1900 – noch einen Schritt weiter; eine der Anlässe dafür waren die berauschenden Resultate der Mengenlehre, mit der Georg Cantor das Unendliche 'vermessen' konnte. Der Ad hoc Ansatz von Cantors Theorie ließ aber auch Antinomien zu – wie Bertrand Russell zeigen konnte. Hilbert wollte deswegen alle Gebiete der Mathematik auf feste axiomatische Grundlagen stellen, dazu sollten die Theorien formal beschrieben werden – Sätze und Theoreme werden nur akzeptiert, wenn sie in endlichen vielen Schritten aus den Axiomen ableitbar sind, so dass jeder Schritt einer formal überprüfbaren Ableitungsregel entspricht; 1899 konnte Hilbert die Euklidische Geometrie als eine solche formalisierte Theorie entwickeln. Weitere Erfolge trugen Zermelo, Fraenkel, von Neumann, Russell und Whitehead bei. Dann bewies 1931 – völlig unerwartet – seine berühmten Unvollständigkeitssätze, und deckte damit Grenzen der formalen Methode auf, er bediente sich dabei einer trickreichen Anwendung von Cantors Diagonalverfahren. Diese Sätze gehören sicher zu faszinierendsten, aber auch seltsamsten Erkenntnissen der mathematischen Logik des 20. Jahrhunderts, die zudem oft Anlass für allerlei Missverständnisse und Missinterpretationen Anlass bieten.

Das Ziel des Autor ist es, eine solide informative Einführung in die mathematische Logik zu präsentieren, er möchte aber nicht nur ÜBER diese, zum Teile skurrile, Phänomen berichten, sondern tatsächlich Mathematik betreiben, so dass der Leser in die Lage versetzt wird, die zentralen Begriffe, Ideen, Sätze und Beweise selbst nach zu vollziehen. Es gelingt dem Autor dabei in bemerkenswerter Art und Weise die Balance zwischen Exaktheit und informeller Beschreibung zu waren; hilfreich sind dabei die vielen illustrierenden und motivieren Beispiele, und die Betrachtung der wichtigen Resultate in ihrem jeweiligen historischen Kontext.

Formale Systeme werden für Aussagen und Prädikaten Logik, auch höherer Stufe, sowie für die Axiomatische Mengenlehre betrachtet und untersucht; daran schließt sich im Rahmen der Beweistheorie einen detaillierte Behandlung der Gödelschen Resultat an – die Darstellung orientiert sich an Gödels Originalarbeit und betrachte auch die syntaktische Form des Unvollständigkeitssatzes, die populäre Werke gern unter den Tisch fallen lassen; hier diskutiert der Autor auch einige typische Fehlinterpretationen dieser Sätze.

Es folgen Kapitel über Modelltheorie mit den Kompaktheits- Sätzen, aus denen die Existenz von Nichtstandard Modellen folgt, Berechnungstheorie und einer kurzen Einführung in die algorithmische Informationstheorie, in der die seltsamen Eigenschaften von Chaitins Haltewahscheilichleit Omega skizziert werden. Gerade dieses Kapitel ist eine weit geeignetere Einführung in dieses Thema, als Chaitins Anthologie 'The Limits of Mathematics'.

Noch einer anderen Herausforderung hat sich der Autor gestellt, das Buch hat eine fast quadratische Seitenform, somit ist viel Platz auf den Rändern für Abbildungen, Diagramme und Infoboxen, das eröffnet der Versuchung Tür und Tor zu quietsch- bunten Ausschmückungen, der hat er widerstanden; das Randmaterial ist fein mit dem Text abgestimmt und ergänzt diesen, so dass das gewählte Layout zum informellen Charakter der Darstellung beiträgt,

Der Erfolg des Konzepts des Autors, zeigt sich nicht zuletzt darin, dass das Buch nun bereits in zweiter Auflage vorliegt.
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am 27. Juli 2011
Das Hauptthema dieses Buches, nämlich 'die innewohnenden Grenzen der Mathematik' kann philosophisch, ja sogar praktisch, kaum fesselnder sein.
Es ist dem Autor gelungen, eine umfassende, kristallklare Übersicht des Themas zu vermitteln, samt einer ebenso überschaubaren Behandlung der notwendigen Beweisen, welche die Nebenthemen und das Hauptthema untermauern.
Und zwar ohne je dabei übermäßig zu vereinfachen, was darauf hindeutet, daß die wichtigsten Themen der heutigen Mathematik meistens ohne weiteres zugänglich sind.
Darüber hinaus ist das Buch munter, also alles andere als dröge.
Sehr empfehlenswert.
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am 8. August 2013
Das Buch ist sehr gut lesbar und vor allem sehr gut strukturiert. Dirk W. Hofmann hat da ganze Arbeit geleistet. Ich wünschte dieser Schreibstil wäre auch bei manch anderen Büchern ebenso so klar, gut strukturiert und auf den Punkt gebracht wie in seinem Buch. Es richtet sich insbesondere auch an Mathematiker, Computerwissenschafter, Philosophen, Logiker die an den Grundlagen interessiert sind.

Ich wüsste nicht welchen Aspekt ich hier negativ beurteilen könnte.

Daher meine Bewertung: 5 Sterne und eine Kaufempfehlung! Viel Spass und schöne Stunden beim Lesen des Buches!

Wolfgang
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am 9. Februar 2012
Während meines Mathematikstudiums in den sechziger Jahren hatte ich die Absicht, mich auch in die Fragen der Grundlagen der Mathematik einzuarbeiten. Dazu ist es leider nicht gekommen, später fehlte mir die Zeit dazu. Ich wünschte mir daher immer ein Buch, das die Entwicklung und die Ergebnisse dieses Gebietes bis zur Gegenwart systematisch darstellt und zusammenfasst, das mir das Studium der umfangreichen und schwierigen Originalliteratur erspart und schließlich den "roten Faden" aufzeigt, der die einzelnen Ergebnisse verbindet.

Dirk Hoffmann hat nun dieses Buch geschrieben, das alle meine Wünsche erfüllt. Ihm gilt mein Dank dafür!
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