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Kundenrezensionen

4,7 von 5 Sternen
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4,7 von 5 Sternen

TOP 1000 REZENSENTam 27. August 2016
Dieses Buch mit dem Titel "Die fraktale Geometrie der Natur" gilt als die bekannteste Veröffentlichung des französisch - amerikanischen Mathematikers Benoît Mandelbrot. Mandelbrot gilt als Querdenker und seine Theorie der Fraktale stand konträr zu den Vorstellungen anderer gelehrter Mathematiker, die alles über die Geometrie des Euklid erklären möchten. Mit diesem Buch verschaffte sich Mandelbrot dennoch öffentliches Gehör und es erscheint mittlerweile so, dass dieses Buch ein wichtiger Schritt für viele Entwicklungen und Beobachtungen war und noch sein wird.

Zu Mandelbrot selbst ist zu sagen, dass er sich als französischer Jude während des zweiten Weltkriegs ständig vor den Häschern der Nazis verstecken musste, was ihn nach seiner Meinung dahingehend geprägt hätte, seine Umgebung schärfer zu beobachten. Seine Liebe zur Mathematik, speziell zur beobachtenden Mathematik in Form der Geometrie entdeckte er im Jahr 1945. Während seines Studiums in Frankreich wurde ihm bewusst, dass er algebraische Formeln im Kopf sofort als Bilder erkannte. Er promovierte auch noch in Frankreich, welches er später verließ, weil man ihm dort keinen Lehrstuhl an einer Universität geben wollte. Man hielt ihn in Frankreich zwar für begabt, aber irregeleitet. So wurde er Mitarbeiter im Forschungsteam von IBM in den USA, das 1958 nach kreativen Köpfen und Querdenkern suchte.

Die IBM Ingenieure rätselten damals darüber, warum ständig Daten bei der Übertragung via Telefonleitung verloren gehen. Mandelbrot stellte die Nebengeräusche dabei auch graphisch dar und er entdeckte in der Darstellung das Phänomen der Selbstähnlichkeit, was an sich nicht ganz neu war. Er erinnerte sich an die Cantorsche Punktmenge (Georg Cantor, dt. Mathematiker des 19. Jahrhunderts). Cantor behauptete 1833, dass beim immer kleinerer werdenden Zerlegen einer Geraden am Ende nicht Nichts übrig bleiben würde, sondern eine unendlich große Menge an Punkten gegenwärtig sei. Die Cantor Menge gilt daher heute als das älteste Fraktal. Bedeutender war für Mandelbrot allerdings die Monsterkurve des schwedischen Mathematikers Helge von Koch. Die Monsterkurve, die sich aufgrund der Angliederung immer kleinerer Dreiecke ergibt, gleicht in ihrer Form einer Schneeflocke. Sie ist in ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, was so viel bedeutet, dass beim Vergrößern beliebiger Abschnitte immer die gleichen Strukturen erscheinen. Mit Hilfe dieser Erkenntnisse konnte IBM letztendlich das Datenübertragungsproblem lösen. Die Amerikaner erkannten schnell das Potential des Mathematikers und von 1987 bis 2005 lehrte Mandelbrot noch an der Eliteuniversität von Yale.

Mandelbrot verfasste wegweisende Arbeiten im Bereich der fraktalen Geometrie und der Chaosforschung, bekannt ist vor allem die Entdeckung der Mandelbrot - Menge (auch als Apfelmännchen bekannt). Auch der Begriff des Fraktale geht auf Mandelbrot zurück. Ein Fraktal ist demnach ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst. Provokativ stellte Mandelbrot damals die Frage nach dem Umfang Großbritanniens: Wie lang ist die Küste Britanniens? Dabei sprach er ein bekanntes Problem der Landvermessung an. Nach Mandelbrot ist die Küste Großbritanniens eigentlich unendlich lang. Die Längenmessung ist abhängig von der Länge der Zollstöcke, die man anlegt. Je kleiner die Zollstöcke sind, desto mehr muss man anlegen und desto länger wird die Küste Großbritanniens. Er spricht beim Vermessen der Küsten auch von dessen Rauheit. Je rauher eine Fläche ist, desto fraktaler sei sie. Die Tätigkeit bei IBM gab Mandelbrot die Möglichkeit, den Computer immer verstärkter einzusetzen, auch für eigene Berechnungen im Bereich der Fraktale. So griff er die Ideen der Funktionsiteration von Pierre Fatou und Gaston Maurice Julia (französischer Mathematiker) auf, der die Julia Menge in einem Aufsatz aus dem Jahr 1918 beschrieb. Julia konnte damals noch nicht unendlich viele Schritte rechnerisch durchführen. Der Computer kann bei der Erzeugung unendlich vieler Berechnungen eine nützliche Hilfe darstellen. Mandelbrot stellte diese Berechnungen auch graphisch dar. Es entstand dabei ein käferartiges Gebilde, welches man auch als Apfelmännchen bezeichnet. Die Mandelbrot - Menge misst dabei die Menge aller komplexen Zahlen c, für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen mit dem Bildungssatz zn+1 = (zn)² +c und dem Anfangsglied z0 = 0 beschränkt bleibt.

Das Spannende an der Mandelbrot Menge ist, dass man das Phänomen des Apfelmännchens ähnlich dem Phänomen des "Goldenen Schnitts" auch überall in der Natur beobachten kann. Dies wird vor allem in diesem Buch sehr deutlich. Vorab behauptete die Wissenschaft, dass sich die Natur nicht den mathematischen Regeln unterordnen lassen würde. Der Goldene Schnitt ist z.B. ein Naturphänomen, welches sich mathematisch beschreiben lässt und gilt auch heute noch als ein bedeutendes Gestaltungsinstrument im Design. Die Modebranche entdeckte bereits in den 1980er Jahre die Bedeutung der Mandelbrot Menge für ihr Texturdesign. Verbunden sind die ersten Schritte dieser Mode -Erscheinungen mit dem Namen Jhane Barnes, die mit Hilfe von Computern Moiré Effekte erzielte. Eine große Bedeutung bekam die Mandelbrot Menge vor allem bei der Darstellung komplexer Special Effects im Filmbusiness. Einer der ersten bedeutenden Filme mit Einsatz von Fraktalen war z.B. Star Trek 3. In einer Kampfszene wird durch Überlagerungen eines einfachen Strahls beispielsweise Lavamasse in die Luft geschleudert um dann wieder herab zu fallen und abzukühlen. Die neuen Möglichkeiten wurden auch schnell von der Computerspiele- Industrie erkannt. Die erste Nutzung erfolgte aber bereits im Jahr 1978 im Werbefilm und zwar durch Laurel Carpenter, der für experimentelle Flugzeuge von Boeing Filme drehen sollte. Man benötigte dazu einen Hintergrund mit Bergen. Die graphische Zerlegung am Computer ermöglichte es, auf aufwendige Trickfilmtechniken zu verzichten. Auch Carpenter hatte vorab Mandelbrots Schriften studiert. Interessant ist sicher noch der Hinweis, dass der Amateurfunker Cohen über dieses Buch nach einem Streit mit seinem Vermieter zur Erfindung einer kleinen Antenne kam. Dazu bog er Drähte in zackige Formen gemäß der Kochschen Kurve und entdeckte dabei, dass die Antenne sogar eine viel größere Frequenzbreite empfangen kann. Heute ist diese Antenne in jedem Mobilfunkhandy eingebaut. Man spricht auch von fraktalen Antennen.

Heute erhofft sich die Wissenschaft noch mehr an Erkenntnissen durch Nutzung der fraktalen Geometrie. Der Bostoner Kardiologe Ary Goldberger stellt heraus, dass die Herzfrequenzen nicht wie von Galileo einst behauptet konstant verlaufen, sondern sich parallel einer fraktalen Architektur verhalten. Er hofft darauf, eine Möglichkeit zu finden, durch Messungen früher Herzprobleme erkennen zu können. Im Design denkt man darüber nach, dass auch das menschliche Auge sich nicht linear Gegenstände durch Abtasten erarbeitet und dass dies evtl. auch zu Überlegungen führen könne, Instrumente in Flugzeugen oder Autos nicht linear, sondern fraktal anzuordnen. In der Universität Toronto werden Überlegungen dazu angestellt, ob man mit Hilfe von Ultraschallaufnahmen kleine Krebsgeschwüre frühzeitiger erkennen kann, denn die Durchblutung erfolgt im Menschen fraktal (ähnlich einem Baum oder einer Blume), was nicht für Tumore (chaotisch, mistelförmig verknotet) gilt. Die Mandelbrot Menge leistete aber noch mehr. Sie half auch die bekannte Theorie zu erklären, dass sich Energieverbrauch zur Masse nach der Formel E = M Ÿ verhält. Demnach verbraucht z.B. ein Elefant, der ca. 200000 Mal schwerer ist als eine Maus, nur 10000 Mal so viel Energie wie die Maus.

Geoffrey West von der Universität in Santa Fe erhofft mit der Mandelbrot Theorie auch erklären zu können, wie hoch der Absorptionsgrad von CO2 der Regenwälder wirklich ist. Nach West stimmt die Größenverteilung von kleinen und großen Bäumen im Regenwald mit dem Verhältnis großer und kleiner Äste an einem einzelnen Baum überein. Die Vermessung eines Baums müsse nach Wests Meinung ausreichen um dies zu bestimmen. Der Baum und seine Astverzweigungen sind selbst ein Beispiel für Fraktale. Man findet die Fraktale aber auch anderswo in der Natur, wie z.B. in Wolkenformationen, in Gebirgszügen oder Brokkolistrünken. Die Ergebnisse dieser Mathematikergeneration von Mandelbrot Anhängern vertieft unser Verständnis der Natur und regte zu einer ganzen Reihe von wissenschaftlichen, medizinischen und künstlerischen Innovationen an, von der Ökologie des Regenwalds bis zum Modedesign.

Dieses Buch wird Ihnen diese hier von mir beschriebenen Innovationen nur zum Teil oder nur angeschnitten erläutern. Es ist auch kein richtiges Mathematikbuch oder Lehrbuch, sondern stellt vermehrt Vergleiche zur Natur auf. In seinem Buch erklärt er dem Leser, dass viele Formen (Baum und Äste, Blutadern, Wolken, Datenübertragungsfehler, etc.) die bisher mit unseren Erkenntnissen nicht erklärbar bzw. beschreibbar sind nach ein und demselben Prinzip funktionieren. Er nimmt sogar Bezug zur Kunst, indem er auf den Holzschnitt "Die große Welle von Kanagawa" des japanischen Künstlers Katsushika Hokusai (1790 -1849) verweist. Dieser zerlegte in diesem Bildnis die große Welle in immer kleinere Wellen, so dass Fraktale entstanden. Das Buch zählt meines Erachtens zur populärwissenschaftlichen Literatur, so dass auch Laien oder Feinde der mathematischen Formeln Unterhaltung beim Schmökern finden können. Eine durchdachte Struktur sucht man vergeblich, so dass man zum Erfassen wichtiger Punkte für das Lesen Bleistift und Papier bereit legen sollte. Das Buch könnte durchaus auch Freunde von Literatur zum Goldenen Schnitt interessant sein.
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am 8. Februar 2015
Das vorliegende Buch ist Mandelbrots Lebenswerk. Seine fraktale Geometrie kann überraschenderweise viele Naturphänomene modellieren, bei denen die bisherige klassische euklidische Geometrie versagte. Mandelbrots Verdienste sind enorm:

- Er baute die Brücke zwischen hochabstrakter Mathematik und Anschaulichkeit. Die Begriffe, die er der theoretischen Mathematik entlieh, waren nur einem exklusiven Kreis von Mathematikern verständlich. Anschaulich wurden sie, indem er seine Berechnungen durch Computergrafiken illustrierte. Hilfreich dafür war seine Stelle im IBM Entwicklungslabor, die es ihm erlaubte, den damals immens teuren Großrechner für seine rechenintensiven Iterationen zu nutzen. Wer hätte hinter einer harmlosen Iterationsformel z(n+1)= z(n)*z(n) + c eine Geheimtür zur Welt des Apfelmännchens vermutet?

Plötzlich entdeckte eine breite Leserschaft diese Schönheit der Mathematik. Heerscharen begeisterter junger Leute versuchten mittels Fractint oder anderer Rechenprogramme, in nächtelangen Iterationen einen Zipfel dieser skurrilen schönen Grafikwelt zu entdecken, die es selbst auf den Kunstmarkt schaffte.

- Mandelbrot schuf ein neues Verständnis von Komplexität: Komplexe Formen können als Resultat einfacher Wiederholungen entstehen. Das Buch illustriert und erläutert dies anhand von Juliamengen, aber auch computergenerierter Gebirge und Wolken. Verblüffend einfache Zeichen-Anweisungen (die L-Systeme) schaffen durch Wiederholungen Bäume, Farne und Blumen, wie sie in unserer Landschaft vorkommen.

- Er entdeckte, dass ein weiteres Grundprinzip – die Selbstähnlichkeit – genutzt werden kann, um prinzipielle Aussagen über das Verhalten von komplexen Systemen zu treffen. Illustriert wird das z.B. anhand der Kochkurve, mit deren Hilfe es plausibel wird, wieso Portugiesen und Spanier unterschiedliche Längen ihrer gemeinsamen Grenze angeben – Schuld ist die fraktale Eigenschaft der Kochkurve, deren Länge mit kleiner werdendem Schrittmaß immer größer wird.

- Die fraktale Dimension ist der Schlüssel, Chaos zu klassifizieren. Plausibel erklärt er die fraktale Dimension am Beispiel einer Teilchenbahn der Brownschen Molekularbewegung, die mit der Zeit die gesamte Fläche ausfüllen wird. Nun nutzt er dieses bestimmende Merkmal der Fraktale zur Erklärung diverser komplexer Phänomene. Mandelbrots Entdeckerlust macht dabei vor fast keiner Fachdisziplin halt, von der Strömungstechnik und der Medizin (Blutgefäße - diesen Anwendungsfall fand ich besonders spannend!) über die Astronomie und Wetterphänomene bis hin zur Linguistik:

- Die Skaleninvarianz, die das Zipfsche Gesetz beschreibt (Produkt aus Häufigkeit eines Wortes einer Sprache und dessen Häufigkeitsrang ist nahezu konstant), wurde von Zipf empirisch gefunden und war lange umstritten, da es als ungewöhnlich empfunden wurde, in der Vielfalt der Sprachen einheitliche statistische Zusammenhänge zu finden. Mandelbrot fasste das Zipfsche Gesetz mit der fraktalen Dimension genauer und konnte einen Zusammenhang mit ähnlichen Abhängigkeiten (wie der Einkommensverteilungen bei hierarchisch gegliederter Firmen) bringen. Das Zipfsche Gesetz lässt sich übrigens auch auf Verkaufszahlen und Ranking eines Buches bei Amazon anwenden.

- Nach langen Widerständen zog dann das Verständnis der Fraktale in Wirtschaft und Wissenschaften ein: Einige Anwendungen sind direkt mit Fraktalen verbunden: Die Fraktalantenne im Handy, skalierbare geografische Karten, Bestimmung von Oberflächenrauheit in der Materialforschung, Behältergestaltung zur optimalen Vermischung von Flüssigkeiten oder die Bestimmung der Volatilität einer Aktie. Vieles wurde durch Fraktale offensichtlich, z.B. auch, dass Börsenfinanziers mit einer falschen Wahrscheinlichkeitsverteilung rechneten und damit Risiken falsch einschätzten. Andere Anwendungen wie die fraktale Bild- oder Tonkompression haben sich wegen Aufwand oder Qualitätsverlust nicht durchgesetzt, wie auch einige seiner Erklärungen zwar plausibel, aber nicht komplett zutreffend waren (ein Paradoxon zur Leuchtkraft der Sterne, das unter bestimmten Voraussetzung verhindern würde, dass es nachts dunkel wird, beschäftigte Generationen von Astronomen. Heute wird es mit der Rotverschiebung eines sich ausdehnenden Universum und weiteren Effekten erklärt, statt ausschließlich mit fraktalen Sternenclustern). So sind Überlegungen zu fraktalen Eigenschaften nun Allgemeingut und haben an Verblüffung etwas verloren.

- Allerdings ist die Bestimmung der fraktalen Dimension eben nur ein Schritt „hinter die Geheimtür“ und weiter im Inneren wartet vielleicht ein anderes "Apfelmännchen" auf den nächsten Entdecker…2010 gab es einen ersten Versuch einer Verallgemeinerung dieser Mandelbrotmenge auf die dritte Dimension (Stichwort „Mandelknolle“). Daher, ja der Hype ist vorbei, doch es bleibt spannend, wie sich das Verständnis unserer nichtlinearen Welt weiterentwickelt. Daher ist das Buch für ein prinzipielles Verständnis empfehlenswert.

Obwohl Mandelbrot nach diesem noch weitere Bücher schrieb, ist dies sein Vermächtnis und das umfassendste Buch zur fraktalen Geometrie der Natur. Es ist nicht flüssig zu lessen, sonder eher ein Nachschlagewerk: Mit einem neuen Blick auf Komplexität bringt es etwas mehr Licht ins Chaos. Man kann immer wieder ein Kapitel herausgreifen und Neues entdecken. Es gibt unbewiesene Behauptungen und Prophezeiungen und viele erstaunliche Einsichten.
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am 19. September 2005
Dieses Buch hat ja in den 1980ern für Furore gesorgt, und zwar zu Recht, denn Mandelbrot begründete mit diesem Werk die "Fraktale Geometrie". Mandelbrot zeigte, dass viele Formen und Prozesse in der Natur, die mit herkömmlichen Mitteln kaum zu beschreiben sind (etwa Wolken, Bäume, Datenübertragungsfehler, ...) einem und demselben einfachen Prinzip unterliegen, nämlich dem der Selbstähnlichkeit (oder genauer, der Skalierungsinvarianz).
Ich bin schon seit Jahren an Fraktalen interessiert und habe mir dann irgendwann auch mal dieses Buch zugelegt. Ich war lange Zeit ein wenig enttäuscht. Der Text ist alles andere als gut strukturiert; Mandelbrot verliert sich hin und wieder gerne in theoretischen oder geschichtlichen Details, sein Schreibstil ist eigenwillig, und seine Begriffswahl wirkt teilweise fast belustigend ("perkolierender Quark"). Das ganze wirkt somit zunächst etwas kryptisch; erst beim mehrmaligem Schmökern entdeckt man viel Wissenswertes, das ich bisher in keinen anderen Büchern über Fraktale gefunden habe.
Ich kann dieses Buch somit empfehlen, zumindest jenen, die sich ernsthaft für Fraktale interessieren, und die sich auch schon ein wenig damit beschäftigt haben. Nicht nur, weil es ein Klassiker ist, sondern vor allem deshalb, da hier das Gebiet der Fraktale von allen möglichen (und auch einigen unmöglichen) Seiten beleuchtet wird. Mir selbst ist dieses Buch aufgrund seiner Bedeutung, seiner Eigenartigkeit, aber auch seines Inhalts schon sehr ans Herz gewachsen.
Aber Vorsicht, denn dies ist definitiv kein Lehrbuch. Ich werfe immer mal wieder gerne einen Blick hinein und erfahre auch immer wieder Neues. Doch als Neuling wird man mit diesem Buch überfordert sein. Wie Mandelbrot selbst zu Beginn des Buches sagt: Dieses Buch ist "weder ein Mathematiklehrbuch noch eine Monographie", sondern "sowohl Beispielsammlung als auch Manifest". Und als solches sollte man es auch verwenden, wenn man nicht enttäuscht werden will.
Da dieses Buch wie gesagt keine leichte Kost und sehr gewöhnungsbedürftig ist, gibt es nur 4 Sterne -- auch wenn es vom Inhalt und Bedeutung her 5 verdient hätte.
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am 3. Januar 2015
leider bin ich zu dumm, um die Genialität von Mandelbrot ausreichend würdigen zu können. Es ist jedoch faszinierend in welch unterschiedlichen Gebieten seine Forschungsergebnisse Eingang fanden. Ich werde sicher noch einen zweiten Anlauf unternehmen, um die Auswirkungen dieses Zweiges der Mathematik zu verstehen.
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am 27. Juli 1999
Dieses Buch gehört zweifellos zu den Meilensteinen der Mathematik und hat eine Unzahl populärwissenschaftlicher Bücher nach sich gezogen, die zumeist ein paar Ideen dieses Werkes vereinfacht und mit etwas mehr Bildern darstellen. Damit ist bereits gesagt, daß der mathematische Anspruch hier etwas höher ist als in vielen einführenden Büchern über Fraktale. Nichtsdestotrotz ist es gerade Mandelbrots Ziel, die Anschaulichkeit wieder in die Mathematik einzuführen. Es wird also immer von ganz "natürlichen" Fragestellungen ausgegangen, z.B. wie sich Galaxien ordnen, wie sich Adern verzweigen oder wie Aktienkurse schwanken, und es wird versucht, die wesentlichen Merkmale so klar und einfach wie möglich zu beschreiben. Die entstehenden Modelle haben dann Namen wie "Staub", "Quark", "Molke" oder "Klumpen". Es werden wesentliche Kenngrößen von Mengen eingeführt, z.B. die fraktale Dimension und G- Länge, und bekannte Fraktale Gebilde wie die Koch-Kurve werden systematisch untersucht. Beeindruckend ist dabei die Fülle von mathematischer Tradition einerseits und Ergebnissen aus anderen Wissenschaften andererseits, auf die Mandelbrot bezugnimmt. Hier fügen sich viele früher nichtbeachtete Vermutungen und Ergebnisse zu einer schönen Theorie. Wer nur ein paar Formeln zum Berechnen schöner Bilder und dazu etwas Halbwissen will, wird sich mit diesem Buch sicherlich übernehmen. Wer aber eine interessante und umfassende Einführung in dieses Teilgebiet der Mathematik erwartet, wird nicht enttäuscht werden. (Dies ist eine Amazon.de an der Uni-Studentenrezension.)
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am 9. Oktober 2006
Gebrochene Dimensionen, Unendlichkeit im Endlichen. Wer sein Denken und seine Erkenntnis um eine Stufe erweitern möchte, sollte sich dieses Buch zulegen. Faszinierend z.B. die Erörterung der Antwort auf die Frage nach der Länge der Küstenlinie von Großbritannien. Diese könnte jeden beliebigen Wert annehmen, abhängig von dem kleinsten zu vermessenden Längenabstand (=Epsilon). Küstenlinien stellen nämlich fractale Muster dar, deren Längen mit kleiner werdendem Epsilon bis ins Unendliche wachsen können. Das Schrittmaß eines Menschen, der diverse Buchten abschreiten kann, erzeugte eine weit geringere Länge als diejenige, welche von einer Ameise ermittelt werden könnte, die noch die allerkleinsten Unterbuchten und durch Steinchen definierte Rundungen mit"rechnen" würde. Üblicherweise könnte man Epsilon in einem Bereich zwischen 20 Meter und 20 Zentimeter annehmen, um kartographisch relevante Werte zu erhalten. Aber im Grunde gibt es keine wirkliche Länge bzw. Antwort auf die eingangs gestellte Frage, wer hätte das gedacht ?
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am 24. November 1999
Dieses buch ist ungewöhnlich. Von einem Mathematiker geschrieben, ist es doch kein Buch über Mathematik. Mit vielen computererzeugten Bildern illustriert, beschäftigt es sich aber nicht nur mit Computergraphik. Teilweise schon fast vergessene Erkenntnisse der Mathematik der Jahrhundertwende in Verbindung mit modernster Computertechnik schaffen Bilder von hohem ästhetischen Reiz. Doch ist dies für Mandelbrot nur Mittel zum Zweck. In Zusammenarbeit mit Physikern, Chemikern, Biologen, Statistikern, Technikern, Astronomen, Meteorelogen, Ökonomen und Linguisten gelangte der Autor zu der Überzeugung, dass zahlreiche bislang nur unvollkommen beschriebenen Phänomenen ein einheitliches Prinzip zugrunde liegt: die Selbstähnlichkeit. Im ständigen Wechselspiel zwischen konkreten Erscheinungen, ihrer Beschreibung, der Entwicklung und Begründung von Modellen sowie math. Objekten demonstriert der Autor den breiten Nutzen dieses Prinzips bei der Analyse zahlreicher Phänomene in der Natur und Gesellschaft. Mit großer Überzeugungskraft führt er den Leser zu einer „fraktalen Sicht" auf dynamische Systeme, das Erdrelief, die Turbulenz, die Struktur des Weltalls, biologisches Wachstum, Riesenmoleküle, Preisschwankungen, Wasserstände, Rauschen in Informationskanälen und vieles andere. Fazit: Den MANDELBROT muss man haben. (Dies ist eine Amazon.de an der Uni-Studentenrezension.)
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am 20. Dezember 2014
Die Mathematik hatte bis vor einiger Zeit nicht den Anspruch die Natur zu erklären, sie war auf den euklidischen Raum beschrängt. Somit gab es auch nur Formen in natürlichen Dimensionen. Die Fraktale ermöglichen es gebrochene Dimensionen zu betrachten. Vor allem kommen Fraktale überall in unserem Alltag vor, in den Handys als Antennen, in den Wäldern, in unserem Blutsystem usw.
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am 30. Mai 2015
Ein sehr spannendes Werk, wenn man über die bekannte Euklidische Geometrie hinaus möchte!
Problemlos für Menschen mit und ohne Mathematikwissen zu verstehen.
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am 31. Dezember 2012
Derartige Figuren kann ich im Prinzip auch herstellen. Die Natur mathematisch zu erklären, geht schon in das unbegreifbare. Das aber interessierte mich.
Sie Lieferung erfolgte, wie immer, prompt und auch in gewohnter Qualität
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