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5.0 von 5 Sternen Anspruchsvolles Werk für Fortgeschrittene, 5. Januar 2014
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Rezension bezieht sich auf: Lehrbuch der Mathematik, Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis (Taschenbuch)
Hinweis: Die vorliegende Rezension bezieht sich auf alle 4 Bänder der Lehrbuch-Reihe von Storch-Wiebe

Mittlerweile im Physik-Hauptstudium angelangt, wollte ich mein mathematisches Wissen in einer Lehrbuch-Reihe bündeln.

Fischer-Kaul zeichnet sich durch seine komprimierte, eher für's ausechnen-können angelegten Zugang aus, aber ein algebraischer Zugang zur Mathematik i.S.d. der Bourbaki'schen Strukturmathematik ist wünschenswert.

Vor Kauf: Ich habe in meinem bisherigen akademischen Leben viel Geld für Mathematik-Bücher ausgegeben, von denen ich meistens wenig profitiert habe. Umso mehr habe ich mich dieses mal so gründlich wie nie zuvor über das Buch informiert - Mir lag an einer gut lesbaren, verständlichen, algebraisierten Darstellung, die mir wirklich mathematisches Verständnis vermittelt, und nicht nur Rechenschemata.

Nach Kauf: Ich bin mit der Reihe insgesamt sehr zufrieden, die Aufgaben beinhalten z.T. eine Weiterentwicklung der mathematischen Theorie, wobei die Beweise nicht immer leicht auszuführen sind. Dennoch finden sich v.a. ähnliche Aufgaben, so dass man wirklich damit üben kann, um Routine im Umgang mit bestimmten rechenverfahren und Standard-Beweis-Argumentationen entwickeln kann.

Speziell nach Bänden (offiziell):

Bd. 1: Band eins behandelt die Analysis einer Variablen sowie eine Einführung in die numerische Mathematik und Stochastik. Auch elementar integrierbare gewöhnliche Differentialgleichungen werden in einer konzisen Art und Weise behandelt.

Bd. 2: Band zwei behandelt die Lineare Algebra unter Einschluss der linearen Funktionalanalysis (soweit sie behandelt werden kann) und der Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Bd. 3: Band drei behandelt die mehrdimensionale Analysis, d.h., die Differential- und Integralrechnung mehrere Veränderlicher, sowie die Funktionentheorie einer und mehrerer Variablen in Grundzügen. Ferner findet sich ein weiterführendes, gelungenes Kapitel über die Wahrscheinlichkeitstheorie, die mE in der Physiker-Ausbildung leider etwas zu kurz kommt.

Bd. 4: Band vier behandelt die Theorie die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, die multilineare Algebra, Grundzüge der algebraischen Topologie, der Analysis auf Mannigfaltigkeiten und Grundlagen der riemann'schen und komplexen Geometrie. Weiterführend findet sich eine Einführung in die Theorie der Riemann'schen Flächen (welches vermutlich nur für Spezialisten in mathematischer String-Theorie interessant sein dürfte - ich finde dieses Kapitel zu fortgeschritten) und ein Abschnitt über die Funktionalanalysis.

Ich habe keine Mathematik-Klausuren mehr, und ich würde aus Erfahrung heraus diese Lehrbuchreihe nicht zur Vorbereitung auf Klausuren empfehlen, da die einzelnen Bände mit um die 700-800 Seiten für Mathematik-Bücher sehr umfangreich sind und viel vertiefender Stoff behandelt wird.

Gerade letzteres ist aber ein Vorteil dieser Lehrbuch-Reihe. Ich habe kein deutschsprachiges Werk gefunden, welches immer noch verständlich ist und eine dermaßene Bandbreite an mathematisch z.t. sehr fortesgcrhittenen Themen behandelt, bspw., eine kurze Darstellung der Spektral-Sequenzen in Bd. 4 zur Berechnung der Homologie-Gruppen von Mannigfaltigkeiten.

Erfreulicherweise sind diese Bücher laut Vorwort primär an Physiker gerichtet, da sie aus einem Vorlesungszyklus Mathematik für Physiker I - IV + Ergänzungsvorlesungen für Physiker entstanden sind. Auch wenn die sich primär an Mathematiker richtende Literatur für Physiker nachvollziehbar ist, habe zumindest ich in meinem Studium einen Punkt erreicht, an dem ich die Unterschiede zwischen Physiker-Mathematik und Mathematiker-mathematik erkenne (Bsp.: Komplexe Geometrie für String-Theorie). Insofern lag mir an einer mathematisch-rigororsen Darstellung, die aber zusätzliche Kenntnisse auf einführendem mathemaischem Niveau vermittelt (hintergrundvrständnis). Für den rechentechnischen Aspekt habe ich Speziellere Physiker-Literatur, die mir das 'working knowledge' vermitteln.

Wie eine Rezension zu bd. 1 schreibt ist das Erlernen der Mathematik/physik kein linearer Vorgang. Sinnvollerweise liest man dieses Buch mit (Blei-)Stift und versucht der Logik der Beweise zu folgen. Die Aussage der zu beweisen Sätze zu verstehen ist aber ME nach wichtiger. Ich würde ferner empfehlen bei einigen Sätzen versuchen, selber auf einen Satz zu kommen (mir hat das eher geholfen, als der Beweis) und zumindest bei einigen Aufgaben eine Beweisskizze zu überlegen, bevor man versucht das was rauszuziehen.
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Lehrbuch der Mathematik, Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis
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