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Kundenrezensionen

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am 9. Februar 2012
Während meines Mathematikstudiums in den sechziger Jahren hatte ich die Absicht, mich auch in die Fragen der Grundlagen der Mathematik einzuarbeiten. Dazu ist es leider nicht gekommen, später fehlte mir die Zeit dazu. Ich wünschte mir daher immer ein Buch, das die Entwicklung und die Ergebnisse dieses Gebietes bis zur Gegenwart systematisch darstellt und zusammenfasst, das mir das Studium der umfangreichen und schwierigen Originalliteratur erspart und schließlich den "roten Faden" aufzeigt, der die einzelnen Ergebnisse verbindet.

Dirk Hoffmann hat nun dieses Buch geschrieben, das alle meine Wünsche erfüllt. Ihm gilt mein Dank dafür!
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am 8. August 2013
Das Buch ist sehr gut lesbar und vor allem sehr gut strukturiert. Dirk W. Hofmann hat da ganze Arbeit geleistet. Ich wünschte dieser Schreibstil wäre auch bei manch anderen Büchern ebenso so klar, gut strukturiert und auf den Punkt gebracht wie in seinem Buch. Es richtet sich insbesondere auch an Mathematiker, Computerwissenschafter, Philosophen, Logiker die an den Grundlagen interessiert sind.

Ich wüsste nicht welchen Aspekt ich hier negativ beurteilen könnte.

Daher meine Bewertung: 5 Sterne und eine Kaufempfehlung! Viel Spass und schöne Stunden beim Lesen des Buches!

Wolfgang
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am 21. November 2011
Spannender kann man ein Sachbuch nicht schreiben. Die Leser erleben eine Art Achterbahn schwindelerregender Höhen und Tiefen grundlegender Probleme der Logik und Mathematik. Zum Beispiel werden unvorstellbare unendliche Ordinal- und Kardinalzahlen aufeinander getürmt. Andrerseits wird gezeigt, dass dies auch in abzählbaren Modellen möglich ist.

Der Satz von Goodstein demonstriert, wie Gödels Unvollständigkeitssatz auch bei elementaren Theoremen der Zahlentheorie zuschlägt. Im Zusammenhang mit dem zehnten Problem von Hilbert trifft man auf eine Primzahlformel. Ihre praktische Handhabung dürfte aber zu unüberwindlichen Schwierigkeiten führen.

Der heilige Gral der Mathematik könnte die Chaitin'sche Konstante sein, deren ausreichende Kenntnis berühmte Vermutungen von Goldbach und Riemann auf einen Schlag lösen würde. Wie beim sagenhaften Gral ist leider auch hier der Zugang verwehrt.

Die Fähigkeit des Autors komplexe Sachverhalte klar und verständlich zu präsentieren, zeigt sich zum Beispiel an einem Unabhängigkeitsbeweis mit Hilfe von Ultrafiltern.

Im Buch werden wichtige Personen vorgestellt, die massgebliche Einsichten zum Thema beigesteuert haben. Ergänzend werden zum Teil recht knifflige Übungen aufgeführt, die zum Glück im Internet aufgelöst zu finden sind.
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am 27. Juli 2011
Das Hauptthema dieses Buches, nämlich 'die innewohnenden Grenzen der Mathematik' kann philosophisch, ja sogar praktisch, kaum fesselnder sein.
Es ist dem Autor gelungen, eine umfassende, kristallklare Übersicht des Themas zu vermitteln, samt einer ebenso überschaubaren Behandlung der notwendigen Beweisen, welche die Nebenthemen und das Hauptthema untermauern.
Und zwar ohne je dabei übermäßig zu vereinfachen, was darauf hindeutet, daß die wichtigsten Themen der heutigen Mathematik meistens ohne weiteres zugänglich sind.
Darüber hinaus ist das Buch munter, also alles andere als dröge.
Sehr empfehlenswert.
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am 15. Februar 2013
Ich habe selten, d.h. nie ein so - innerlich wie äußerlich - schönes mathematisches Buch gesehen. Es ist sehr geschickt aufgebaut, didaktisch glänzend und wunderbar gestaltet. Und ich habe vieles gelernt oder besser verstanden, was ich bisher mehr aus der Ferne kannte. Ich wünsche dem Buch große Verbreitung, auf dass das Bewusstsein der Mathematiker für ihre Mathematik zunehme - oder geweckt werde.

Dem "normalen" Menschen gestattet das Buch einen einmalig erhellenden Blick auf eine Wissenschaft, die ihre Grundlagen in die eigene Hände genommen und Ergebnisse erzielt hat, deren Bedeutung weit über die Mathematik hinausreichen.

Ich weise auf ein weiteres Buch desselben Autors hin: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze (2013, gleicher Verlag), das ich erworben habe und auf dessen Lektüre ich mich freue.
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am 10. Juni 2015
Man sollte für das Buch ein Faible für Mathematik, Logik und/oder Theoretische Informatik haben. Ich glaube, dass nur "Leute vom Fach" (zu denen ich leider nicht gehöre) den Darlegungen und Beweisen völlig folgen können. Ich gebe fünf Sterne für die sehr sorgfältige Machart des Werks. Der Text ist durch Zweifarbigkeit und viele Abbildungen am Rand schön und übersichtlich gestaltet - sogar mit biographischen "Kästen". Musterlösungen zu den Aufgaben, die auf einer Website zu finden sind, runden den positiven Eindruck ab.
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am 12. Juli 2011
Wer von Gödel, Escher, Bach begeistert wahr wird, auch dieses Buch ebenfalls schätzen und lieben. Relativ leicht und ohne grössere Strapazen (ein wenig guten Willen natürlich vorausgesetzt), da auf technische Details weitgehend verzichtet wird, (ohne oberflächlich zu wirken) kann man ein wenig tiefer in die formale Logik zu Gödel und Co eindringen. Fliessend und interessant geschrieben, klarer roter Faden, Darstellung und Gestaltung können wohl mit recht als vorbildlich bis musterhaft angesehen werden. Klare Kauf ' und Leseempfehlung. Definitives Muss.
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am 4. Mai 2012
Ist das Buch 1 oder 5 Sterne wert? Ich kann es wirklich nicht beurteilen.
Trotz guter Mathematikkenntnisse hatte ich Probleme dem Ganzen zu folgen.
Mit angewandter Mathematik hast das hier nichts zu tun.
Das Buch ist eine Aneinanderreihung endloser Beweise, denen wohl nur ein Vollblut Mathematiker folgen
und sich für diese begeistern kann.
Ob dieses nun gut oder schlecht gemacht ist? Anscheinend wohl ja.

Zwei völlig willkürliche Beispiele aus dem Buch:

S. 89 ... Wir können jede aussagelogischer Formel [PSI] mit n Variablen als eine boolsche Funktion f[PSI] : {0,1}n -> {0,1} auffassen, die für eine Belegung I genau dann den Funktionswert 1 annimmt, wenn I ein Modell für [PSI] ist. Mit anderen Worten: Weist I den Variablen A1, ... ,An die Wahrheitswerte a1, ... ,an zu, dann ist der Funktionswert f[PSI] (a1,... ,an) wie folgt gegeben: ....

S. 224 ... die Beweisprädikate B(x,y) und B`(x,y) sind vereinfachte Varianten der weiter oben eingeführten Relationen Gdl(x,y) und Gdl` (x,y) und genau wie diese primitiv-rekursiv. Damit sind B(x,y) und B`(x,y) nach Satz 4.5. innerhalb der Peano-Arithmetik syntaktisch repräsentierbar. ....

Zum Inhalt:
- Historische Notizen
- Formale Systeme
- Fundamente der Mathematik
- Beweistheorie
- Berechenbarkeitstheorie
- Algorithmische Informationstheorie
- Modelltheorie

Kleines Schmankerl,
zu jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, dessen Lösungen im Internet nachgeschaut werden können.
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am 17. Juli 2013
Ein sehr anstrengendes Buch; in der Kürze der Zeit kann ich es gar nicht vollständig durch arbeiten. Vom Aufbau her gefielen mir die optisch und didaktisch gut gegliederten " Schaukästen "
Ich will einmal willkürloch zwei Themen heraus arbeiten. In Kapitel 7 führt Hoffmann Nonstandard Darstellungen ein. Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass er damit die ( von ===> Edward Nelson so heftig befehdete ) ===> Robinsontheorie meint ( Robinson ist eine klassische, eine " Schwarz-Weiß-Theorie " ) Hierbei wird die Menge |N zu der Non-Standard-Menge |N * auf gerüstet, desgleichen |R . Dagegen Nelson

" There ' s no such thing as |N * or |R * ; |N remains still |N and all classical statements hold true. "

Nelson kommt von " Innen " ; er führt ein äußeres Prädikat " Standard " ein, welches sich zur klassischen Mathematik so verhält wie Farbfernsehen zu Schwarz-Weiß .Den Schalter legt er im " Keller " der Mengenlehre um, indem er ZFC seine drei Axiome IST hinzu fügt; das schlägt dann auf die Mathematik insgesamt durch.
Schon mit mehreren Matheprofs hatte ich Telefonate der folgenden Art

" Hr. Dr. Textor; nur Gerüchte weise vernahm ich, die Non-Standardisten verbiegen den Begriff der Unendlichkeit und behaupten, in jeder ( beliebigen ! ) Menge M gebe es eine endliche Teilmenge E , die schon ALLE Elemente von M enthält ... "
" Sie missverstehen das. Dieser Satz gilt nur für Nelson. Er wird auch sofort klar, wenn Sie ' Case-Sensitive ' arbeiten. Ab Heute mögen Großbuchstaben nur für Standardobjekte stehen.
Der Lehrsatz lautet

Jede Menge m besitzt eine endliche Teilmenge e mit der Eigenschaft

X € m ===> X € e ( 1a )

Es steht ja nicht da

x € m ===> x € e ( 1b )

( 1b ) wäre eine Schwarzweiß-Aussage und in der Tat widersprüchlich.
Jeder Versuch, ( 1b ) aus ( 1a ) her zu leiten, erfüllt in der Nelsontheorie den Straftatbestand des ===> verbotenen
Transfers. "
" Hr. Dr. Textor; ich weiß das nicht so genau. Ich vernahm es nur Gerüchte weise ... "

Die ( Endlichkeitsaussage ) ( 1a ) ist übrigens schon die halbe Miete für den Bewei von ===> Heine-Borel ( HB ) HB folgt nämlich trivial aus ( 1a )
Eine analoge schwarz-weiße Endlichkeitsaussage ist mir bis Heute nicht bekannt geworden; also eine Aussage, aus welcher sich HB " schwarzweiß " her leiten ließe.
Statt dessen kommen die klassischen HB-Beweise wie Kraut und Rüben daher.
Chaos in der Beweistheorie ...
HB ist " faute de mieux "
HB muss immer als Lückenbüßer her halten für alle Theoreme, die sich nicht anders beweisen lassen.
Und Nelson seinerseits benötigt diesen HB an keiner Stelle.
Und das zweite Thema ist die leidige Goldbachvermutung. In allen Monografien vom Schlae eines Hoffmann; auch in einschlägigen Rundfunkbeiträgen taucht immer wieder die " Loch-Ness-Behauptung " auf:
Es könnte sich eines Tages heraus stellen, dass Goldbach im Gödelschen Sinne unentscheidbar sei. Hier nun besteht Nelson die Feuertaufe:

For i = 1 to n0

if not Gold_bach ( i ) stop " i = " ; i

end-For

d Sei n0 = Non-Standard; denkt an Transfer. Wenn die Schleife ÜBERHAUPT anhält, dann für i0 = I0 =
standard. Wenn sie bereits bis n0 gekommen ist, wird sie NIE MEHR ANHALTEN.
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