The Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance [Englisch] [Gebundene Ausgabe]

Der Züricher Mathematiker Guerino Mazzola hat in den 1980er Jahren neue, vor allem algebraische und geometrische Methoden zur mathematischen Modellierung von Musik entwickelt. Sein 1990 erschienenes Buch "Geometrie der Töne" (Spektrum der Wissenschaft 9/1992, S. 130) gibt eine einführende Darstellung mit ersten Resultaten. Ursprünglich wollten Autor und Verlag dieses Werk nur ins Englische übersetzen und damit die Musiktheorie des Autors der internationalen Öffentlichkeit zugänglich machen.
Diese Forschungsrichtung nahm jedoch in den letzten zehn Jahren einen gewaltigen Aufschwung. Methoden aus Logik und Semiotik kamen hinzu, der Computer avancierte zum viel verwendeten Experimentiergerät, Forschungsgruppen in der Schweiz, Deutschland, Frankreich, Italien und Mexiko entstanden und kooperieren auf vielfältige Weise. Aus der anfangs geplanten Übersetzung wurde ein Kompendium mit weit über tausend Seiten, 17 Teilen und fast 70 Kapiteln, nahezu 600 Literaturverweisen und einer umfangreichen CD-Rom mit Programmen.
Das Buch behandelt eine immense Fülle an Themen, von der sehr detaillierten Darstellung der mathematischen Theorie über deren Anwendung auf zentrale Fragen der Musikwissenschaft bis zur Umsetzung der bereitgestellten Methoden in Computerprogramme. Dabei verfolgt der Autor das höchst anspruchsvolle Ziel, alle diese Gesichtspunkte einem zentralen Prinzip unterzuordnen, das er mit dem griechischen Wort "Topos" (Ort) beschreibt. Damit bezieht er sich sowohl auf die Position, die der Musik im Gefüge der geistigen Gegenstände zuzuweisen ist, als auch auf die mathematische Struktur namens "Topos", die im Rahmen der Kategorientheorie eine enge Verflechtung von Logik und Geometrie ermöglicht. Das gesamte musikalische Zeichensystem könne mit Hilfe dieser mathematischen Struktur beschrieben und untersucht werden: Das ist Mazzolas zentrale These, deren Begründung den Hauptteil des Buchs ausmacht. Die Doppelbedeutung seines Titels drückt den Anspruch des Werkes aus: die Zusammenführung von philosophischer Einsicht mit mathematischer Konkretheit.
Die Fülle des behandelten Materials, die Stringenz des Vorgehens und Qualität wie Quantität der Resultate belegen überzeugend den beachtlichen Erfolg dieses sehr jungen Forschungszweigs. Der Weg zu dieser Überzeugung ist jedoch für den Leser lang und qualvoll.
"The Topos of Music" ist keine Einführung in die mathematische Musiktheorie. Die Art der Darstellung ist alles andere als eingängig, und die benötigten Vorkenntnisse sind erheblich. Bereits die Theorie der Denotatoren, die der Autor mit einem als "naiv" bezeichneten Zugang einführt, erfordert große Vertrautheit mit anspruchsvollen mathematischen Strukturen, Methoden und vor allem Denkweisen; erst recht gilt das, sobald Mazzola wenige Seiten später zum allgemeinen Formalismus übergeht. Wer dieses Werk ernsthaft studiert, muss ein großes Sortiment mathematischer Kenntnisse parat haben: von den Grundlagen der Mengenlehre und Logik bis weit in die Kategorien- und Topostheorie, über vielfältige algebraische Strukturen bis hin zu Mannigfaltigkeiten, Varietäten und Schemata, den Anfängen der allgemeinen und algebraischen Topologie, Differenzialgeometrie einschließlich Vektorfeldern, dynamischen Systemen und partiellen Differenzialgleichungen. Auch für professionelle Mathematiker empfiehlt sich vor der Lektüre eine gezielte Auffrischung ihres Wissens.
Das hohe Einstiegsniveau kann man dem Autor nicht unbedingt zum Vorwurf machen. Ein Lehrbuch der Quantenmechanik beginnt typischerweise auch mit der Axiomatik, ohne sich mit Motivationen oder historischen Bemerkungen aufzuhalten, und setzt Kenntnisse über Hilbert-Räume und Ähnliches schlicht voraus. Nur gibt es zur Quantenmechanik ausreichend Bücher, die diese Lücken überbrücken. Zu Mazzolas mathematischer Musiktheorie steht dagegen nur die "Geometrie der Töne" zur Verfügung; zur Topostheorie gibt es etliche Einführungen, die allerdings meist sehr spezielle Ziele verfolgen.
Ist Musik wirklich so komplex, dass sie diesen monumentalen theoretischen Apparat erfordert? Mazzola ist davon überzeugt. Komponisten wie Bach, Haydn, Mozart oder Beethoven waren Genies, und um ihren Meisterwerken gerecht zu werden, seien in Tiefe und Leistungsfähigkeit angemessene Modelle unumgänglich. Das Universum, "Gottes Meisterwerk", erfordere zu seinem Verständnis auch nicht gerade wenig an Wissenschaft. Nur hat Mazzola sein theoretisches Instrumentarium sehr großzügig angelegt, ohne dass zu erkennen wäre, wozu die so geschaffene, kaum überschaubare Breite und Vielfalt nötig oder nützlich ist.
Einem bestimmten - nicht gerade kleinen - Personenkreis rät Mazzola rundweg von der Lektüre ab, nämlich denjenigen, die "darauf bestehen, dass Präzision und Schönheit einander ausschließen und dass Mathematik nur Tautologien produziere und deshalb zu substanziellem Wissen nichts beiträgen könne". Schon richtig, dieses Buch ist nichts für Ignoranten; aber Mazzolas mathematische Musiktheorie wird nur dann eine Breitenwirkung erzielen, wenn es ihr gelingt, diese Ignoranzbarriere zu durchbrechen. "The Topos of Music" leistet dazu leider nur einen bescheidenen Beitrag. --Andreas Nestke

Topos of Music is an extensive and elaborate body of mathematical investigations into music and involves several and ontologically different levels of musical description. Albeit the author Guerino Mazzola lists 17 contributors and 2 collaborators, the book should be characterized as a monograph. Large portions of the content represent original research of Mazzola himself, and the material from other work is exposed from Mazzola's point of view and is well referenced. The preface preintimates an intended double meaning of the term topos in the title. On the one hand, it provides a mathematical anchor, which is programmatic for the entire approach: the concept of a cartesian closed category with a subobject classifier. (...) Zentralblatt MATH