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The Shape of Inner Space
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BLURBS
Brian Greene, Professor of Mathematics & Physics, Columbia University; author of "The Fabric of the Cosmos" and "The Elegant Universe
"""The Shape of Inner Space" provides a vibrant tour through the strange and wondrous possibility that the three spatial dimensions we see may not be the only ones that exist. Told by one of the masters of the subject, the book gives an in-depth account of one of the most exciting and controversial developments in modern theoretical physics."
Joe Polchinski, Professor of Physics, University of California - Santa Barbara; author of "String Theory"," Vols. 1 & 2"
"Einstein's vision of physical laws emerging from the shape of space has been expanded by the higher dimensions of string theory. This vision has transformed not only modern physics, but also modern mathematics. Shing-Tung Yau has been at the center of these developments. In this ambitious book, writtenNewsletter of the European Mathematical Society"An interested reader, even one with little background in mathematics, will be able to gather much new knowledge of, and appreciation for, both mathematics and physics from the elegant analogies and beautiful illustrations in this book... The book gives insight into the mind of one of the world's greatest mathematicians and will provide intellectual stimulation to interested readers with any kind of background."
Simon Donaldson, Royal Society Research Professor in Pure Mathematics and President of the Institute for Mathematical Science, ImperialCollegeLondon
""The Shape of Inner Space" has a distinctive style: in part autobiography, in part an account of developments in geometric analysis and string theory over the past 40 years, and comments on future directions. It gives a unique insight into the thoughts of one of the most important and influential mathematicians of our times."
Edward Witten, Professor, Institute for Advanced Study
"Shing-Tung Yau and Steve Nadis take the reader on a fascinati
Kurzbeschreibung
The leading mind behind the mathematics of string theory discusses how geometry explains the universe we see What if you were told that we actually live in a 10-dimensional universe-- that the leading theory of nature posits only 4 out of 10 are accessible to our everyday senses? How do we account for the other 6 dimensions? What do they look like, where are they hiding, and what, if anything at all, do they do? In The Shape of Inner Space, geometer and leading string theorist Shing- Tung Yau unpacks the widely-held belief that these undetected dimensions are tightly curled in elaborate, twisted shapes called "Calabi-Yau manifolds." Yau explains that these spaces are so miniscule that humans will probably never see any of them directly. Amazingly, however, this hidden realm may hold the answers to some of the most profound questions we have about our universe. In examining his life's work, Yau emphasises his most important finding: proof of the manifold's mathematical existence. This discovery has been critical in advancing our understanding of geometry and string theory, and, more broadly, physics and the universe. With this acquired knowledge, string theorists can go beyond the concept of the universe that Einstein left us with, and possibly expose some of nature's greatest mysteries. A fascinating exploration of a world we are only just beginning to grasp, The Shape of Inner Space will change the way we think about mathematics, cosmology, and our quest to learn the shape of the inner universe.
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13 von 13 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
Format:Gebundene Ausgabe
Das Problem der meisten Literatur über die String-Theorie besteht darin, dass es sich entweder um Fachbücher voller hieroglyphenartiger Mathematik handelt oder um populärwissenschaftliche Darstellungen, welche die Theorie mithilfe vieler bunter Bildchen und lustiger Science-Fiktion-Stories für den Leser/die Leserin "anschaulich" machen wollen. Die Frage, die den interessierten Laien am meisten umtreibt, nämlich, warum man sich ausgerechnet kleine Fäden als kleinste Einheiten der Materie vorstellen soll und nicht irgendetwas anderes, wird weder von der Fach- noch von der Populärliteratur beantwortet, von ersterer nicht, weil sie den Grund für die Notwendigkeit der Verwendung des Fadenmodells als bekannt voraussetzt und von letzterer nicht, weil sie widerum davon ausgeht, dass das breite Publikum es wohl nicht so genau wird wissen wollen.
Yau und Nadis nun sind einen goldenen Mittelweg gegangen (ohne mittelmässig zu sein). Sie machen deutlich, dass die Strings nicht auf irgendeine Weise "entdeckt" worden sind, und also auch gar nicht anschaulich gemacht werden könnten, sondern primär die Lösung eines mathematischen und geometrischen Problems darstellen.
-Etwas unglücklich gewählt ist der Untertitel "Hidden Dimensions" -denn wie plausibel erklärt wird handelt es sich bei den berühmten zusätzlichen Dimensionen nicht um Räume, die unsere sichtbare Welt im Verborgenen umgeben und in denen sich etwa irgendwelche übernatürlichen Wesen verstecken könnten sondern um Dimensionen, die im Gegensatz zu den uns bekannten so dicht aufgewickelt sind, dass sie die bekannte Planck-Länge nicht überschreiten und unmessbar bleiben aber andererseits nicht auf eine Singularität zusammenschrumpfen, worin der Clou der Stringtheorie besteht. Die Hauptaufgabe des "Strings" besteht darin, Singularitäten zu vermeiden. Eine Dimension, also ein Faden, genügt hierfür.
Jeder Punkt im Universum "besitzt" quasi seine eigenen komptaktifizierten Dimensionen. Er legt keinen unsichtbaren Weg durch diese zurück, sondern sie hängen ihm, soweit ich die beiden Autoren richtig verstehe, gewissermaßen an und während er sich durch die uns bekannten Dimensionen bewegt, bleibt die gleichzeitige Bewegung durch die "versteckten" unmessbar winzig. Teilchen, die immer zugleich auch Kräfte und damit Wellen sind, können jedoch die mathematisch geforderten zusätzlichen Schwingungen "theoretisch" in diesen Dimensionen "absolvieren" ohne in ihnen eine messbare Strecke zurücklegen zu müssen. Die Teilchen bestehen nicht aus Strings, als allerkleinste Untereinheiten, sondern der String ist jeweils identisch mit einem Teilchen, je nachdem in wievielen Dimensionen er schwingt. Der String selbst besteht nicht aus irgendeinem Material. Letztlich ist es nicht möglich das anschaulich zu machen. Jemand der noch versierter ist, kann vielleicht mit dem Buch noch mehr anfangen als ich.
Grob gesagt, geht es mathematisch darum, daß man eine Matrize braucht, die groß genug ist die Parameter sämtlicher inzwischen bekannter Grundkräfte des Universums hineinzupacken. Dafür braucht man mindestens 10 Dimensionen.
Im jetzt leistungsfähigsten Teilchenbeschleuniger in Cern geht es jetzt also darum zu beweisen, dass die Natur sich tatsächlich gemäß dem schlüssigen mathematischen Modell verhält. Mathematiker wie Yau, für die Konstruktion der kompaktifizierten Dimensionen mit dem "Mathematik-Nobelpreis" ausgezeichnet, arbeiten (nach Yau) routinemäßig mit Vektoren von mehr als 3 oder 4 Dimensionen, und waren daher eher in der Lage auf die Stringtheorie zu kommen als die Physiker.
Das Buch ist, weil den Leser/die Leserin ernst nehmend, anspruchsvoll aber mit gut behaltenen Kenntnissen aus Mathe- und Pysikgrundkurs und ein wenig selbstständigem Mitdenken ohne weiteres verstehbar. Zumindest wird es für den interessierten Laien nachvollziehbar, wofür welche mathematische Operation oder geometrische Konstruktion gebraucht wird. Yau und Nadis schreiben in einer relativ einfachen Sprache, so daß man sich auch mit nur durchschnittlichen Englisch-Kenntnissen leicht durchbeißen kann.
Yau und Nadis nun sind einen goldenen Mittelweg gegangen (ohne mittelmässig zu sein). Sie machen deutlich, dass die Strings nicht auf irgendeine Weise "entdeckt" worden sind, und also auch gar nicht anschaulich gemacht werden könnten, sondern primär die Lösung eines mathematischen und geometrischen Problems darstellen.
-Etwas unglücklich gewählt ist der Untertitel "Hidden Dimensions" -denn wie plausibel erklärt wird handelt es sich bei den berühmten zusätzlichen Dimensionen nicht um Räume, die unsere sichtbare Welt im Verborgenen umgeben und in denen sich etwa irgendwelche übernatürlichen Wesen verstecken könnten sondern um Dimensionen, die im Gegensatz zu den uns bekannten so dicht aufgewickelt sind, dass sie die bekannte Planck-Länge nicht überschreiten und unmessbar bleiben aber andererseits nicht auf eine Singularität zusammenschrumpfen, worin der Clou der Stringtheorie besteht. Die Hauptaufgabe des "Strings" besteht darin, Singularitäten zu vermeiden. Eine Dimension, also ein Faden, genügt hierfür.
Jeder Punkt im Universum "besitzt" quasi seine eigenen komptaktifizierten Dimensionen. Er legt keinen unsichtbaren Weg durch diese zurück, sondern sie hängen ihm, soweit ich die beiden Autoren richtig verstehe, gewissermaßen an und während er sich durch die uns bekannten Dimensionen bewegt, bleibt die gleichzeitige Bewegung durch die "versteckten" unmessbar winzig. Teilchen, die immer zugleich auch Kräfte und damit Wellen sind, können jedoch die mathematisch geforderten zusätzlichen Schwingungen "theoretisch" in diesen Dimensionen "absolvieren" ohne in ihnen eine messbare Strecke zurücklegen zu müssen. Die Teilchen bestehen nicht aus Strings, als allerkleinste Untereinheiten, sondern der String ist jeweils identisch mit einem Teilchen, je nachdem in wievielen Dimensionen er schwingt. Der String selbst besteht nicht aus irgendeinem Material. Letztlich ist es nicht möglich das anschaulich zu machen. Jemand der noch versierter ist, kann vielleicht mit dem Buch noch mehr anfangen als ich.
Grob gesagt, geht es mathematisch darum, daß man eine Matrize braucht, die groß genug ist die Parameter sämtlicher inzwischen bekannter Grundkräfte des Universums hineinzupacken. Dafür braucht man mindestens 10 Dimensionen.
Im jetzt leistungsfähigsten Teilchenbeschleuniger in Cern geht es jetzt also darum zu beweisen, dass die Natur sich tatsächlich gemäß dem schlüssigen mathematischen Modell verhält. Mathematiker wie Yau, für die Konstruktion der kompaktifizierten Dimensionen mit dem "Mathematik-Nobelpreis" ausgezeichnet, arbeiten (nach Yau) routinemäßig mit Vektoren von mehr als 3 oder 4 Dimensionen, und waren daher eher in der Lage auf die Stringtheorie zu kommen als die Physiker.
Das Buch ist, weil den Leser/die Leserin ernst nehmend, anspruchsvoll aber mit gut behaltenen Kenntnissen aus Mathe- und Pysikgrundkurs und ein wenig selbstständigem Mitdenken ohne weiteres verstehbar. Zumindest wird es für den interessierten Laien nachvollziehbar, wofür welche mathematische Operation oder geometrische Konstruktion gebraucht wird. Yau und Nadis schreiben in einer relativ einfachen Sprache, so daß man sich auch mit nur durchschnittlichen Englisch-Kenntnissen leicht durchbeißen kann.
5 von 5 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
Format:Gebundene Ausgabe
Dieses Buch hat mich von Anfang bis Ende gefesselt.
Hier schreibt ein herausragender Geometer, der seit Jahrzehnten an vorderster Front der Mathematik arbeitet, über die Hintergründe und Beziehung von Calabi-Yau Manigfaltigkeiten zur String-Theorie. Es ist also kein Buch direkt zur String-Theorie, sondern beleuchtet einen anderen, vielleicht grundlegenden Aspekt, nämlich den der inneren Geometrie des Raumes, speziell der "hidden dimensions".
Diese Manigfaltikeiten - die aufgrund seines Beweises den Namen des Buchautors mittragen - sind ein (vielleicht DER) Kandidat für die Beschreibung der sechs kompaktifizierten Dimensionen, wie sie die Stringtheorie verwendet.
Die Calabi-Yau's werden beschrieben, so gut oder schlecht es eben ohne die dazu erforderliche komplexe Mathematik geht. Man bekommt eine ungefähre Vorstellung, aber ohne die Kenntnisse von Chern-Klassen, Ricci-Flüssen und Kähler-Manigfaltikeiten ist dies doch sehr schwer zu vermitteln. Daher ist es ohne entsprechende Kenntnisse vor allem im Mittelteil des Buches schwer zu folgen, weil eine Unmenge an Informationen gegeben wird, die einen schnell überfordern können. Der Autor zumindest gibt viele vereinfachte Beispiele, die in der Regel gut nachzuvollziehen sind.
Dem Buch tut diese Problematik aber nicht wirklich einen Abbruch, denn es bleibt über den gesamten Bereich fesselnd und unterhaltsam geschrieben, was bei dieser Materie sicher nicht leicht ist.
Wohltuend ist die Art und Weise, wie das Verhältnis von Physik und Mathematik am Beispiel von Calabi-Yau und String-Theorie beschrieben wird - nämlich als ein durchaus konkurrierendes, aber sich auch gegenseitig befruchtendes Miteinander. Hier schreibt nicht ein Mathematiker, der despektierlich auf die Physiker schaut, wie es so oft ist (und vice versa).
Interessant sind auch die Ausführungen des Autors am Ende des Buches darüber, was es für die Geometrie bedeutet, eigentlich eine Quanten-Geometrie zu benötigen. Hier bekommt man eine Ahnung, was für Umwälzungen in der Mathematik noch von Nöten sein könnten, um den Quanteneffekten wirklich gerecht werden zu können.
Am Endes des Buches schreibt Yau in Anlehnung an Plato: "Let no one ignorant of geometry leave here." Für mich jedenfalls trifft dies zu, denn die Begeisterung des Autors für Geometrie ist wirklich beeindruckend und anregend. Im Mathestudium jedenfalls habe ich diesen Bereich sträflich vernachlässigt.
Angenehm finde ich, dass die String-Theorie nicht verherrlicht wird; die Probleme werden durchaus angesprochen, auch die Möglichkeit, das Calabi-Yau nicht die korrekte Beschreibung ist, den die String-Theorie (für die hidden Dimensions) benötigt. Aber es wird deutlich, dass dies letztlich auch vollkommen unwichtig ist, jedenfalls aus Sicht eines Mathematikers. Denn der Erkenntnisgewinn auch für andere Bereiche der Mathematik ist bereits jetzt extrem hoch.
Wer also Lust hat, sich auf eine kleine Entdeckungsreise zu begeben und der Sichtweise eines brillianten Mathematikers zu folgen, dem sei dieses Buch sehr ans Herz gelegt. Es ist sicher nicht einfach, aber definitiv lohnend!
Hier schreibt ein herausragender Geometer, der seit Jahrzehnten an vorderster Front der Mathematik arbeitet, über die Hintergründe und Beziehung von Calabi-Yau Manigfaltigkeiten zur String-Theorie. Es ist also kein Buch direkt zur String-Theorie, sondern beleuchtet einen anderen, vielleicht grundlegenden Aspekt, nämlich den der inneren Geometrie des Raumes, speziell der "hidden dimensions".
Diese Manigfaltikeiten - die aufgrund seines Beweises den Namen des Buchautors mittragen - sind ein (vielleicht DER) Kandidat für die Beschreibung der sechs kompaktifizierten Dimensionen, wie sie die Stringtheorie verwendet.
Die Calabi-Yau's werden beschrieben, so gut oder schlecht es eben ohne die dazu erforderliche komplexe Mathematik geht. Man bekommt eine ungefähre Vorstellung, aber ohne die Kenntnisse von Chern-Klassen, Ricci-Flüssen und Kähler-Manigfaltikeiten ist dies doch sehr schwer zu vermitteln. Daher ist es ohne entsprechende Kenntnisse vor allem im Mittelteil des Buches schwer zu folgen, weil eine Unmenge an Informationen gegeben wird, die einen schnell überfordern können. Der Autor zumindest gibt viele vereinfachte Beispiele, die in der Regel gut nachzuvollziehen sind.
Dem Buch tut diese Problematik aber nicht wirklich einen Abbruch, denn es bleibt über den gesamten Bereich fesselnd und unterhaltsam geschrieben, was bei dieser Materie sicher nicht leicht ist.
Wohltuend ist die Art und Weise, wie das Verhältnis von Physik und Mathematik am Beispiel von Calabi-Yau und String-Theorie beschrieben wird - nämlich als ein durchaus konkurrierendes, aber sich auch gegenseitig befruchtendes Miteinander. Hier schreibt nicht ein Mathematiker, der despektierlich auf die Physiker schaut, wie es so oft ist (und vice versa).
Interessant sind auch die Ausführungen des Autors am Ende des Buches darüber, was es für die Geometrie bedeutet, eigentlich eine Quanten-Geometrie zu benötigen. Hier bekommt man eine Ahnung, was für Umwälzungen in der Mathematik noch von Nöten sein könnten, um den Quanteneffekten wirklich gerecht werden zu können.
Am Endes des Buches schreibt Yau in Anlehnung an Plato: "Let no one ignorant of geometry leave here." Für mich jedenfalls trifft dies zu, denn die Begeisterung des Autors für Geometrie ist wirklich beeindruckend und anregend. Im Mathestudium jedenfalls habe ich diesen Bereich sträflich vernachlässigt.
Angenehm finde ich, dass die String-Theorie nicht verherrlicht wird; die Probleme werden durchaus angesprochen, auch die Möglichkeit, das Calabi-Yau nicht die korrekte Beschreibung ist, den die String-Theorie (für die hidden Dimensions) benötigt. Aber es wird deutlich, dass dies letztlich auch vollkommen unwichtig ist, jedenfalls aus Sicht eines Mathematikers. Denn der Erkenntnisgewinn auch für andere Bereiche der Mathematik ist bereits jetzt extrem hoch.
Wer also Lust hat, sich auf eine kleine Entdeckungsreise zu begeben und der Sichtweise eines brillianten Mathematikers zu folgen, dem sei dieses Buch sehr ans Herz gelegt. Es ist sicher nicht einfach, aber definitiv lohnend!
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87 von 92 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
A Rewarding Read
23. August 2010
Format:Gebundene Ausgabe
Before reading "The Shape of Inner Space," I knew almost nothing (actually, nothing at all) about complex geometry or physics. So when a friend handed me an advance copy, I was reluctant to read it. But from the first chapter I found myself being guided quite easily through the fascinating backstory of string theory.
There are so many mathematical concepts and discoveries--each one complex and fascinating in its own right--that one has to understand in order to make sense of string theory. Amazingly, the authors manage to tease apart all these ideas, describe them clearly (with lots of very manageable images and examples), and weave them back together. I'm so glad I read this book!
There are so many mathematical concepts and discoveries--each one complex and fascinating in its own right--that one has to understand in order to make sense of string theory. Amazingly, the authors manage to tease apart all these ideas, describe them clearly (with lots of very manageable images and examples), and weave them back together. I'm so glad I read this book!
69 von 72 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
How to think in (mostly) ten dimensions
17. November 2010
Format:Gebundene Ausgabe
This book, from a mathematician, covers the period from the first proof that Calabi-Yau spaces actually might exist to their current central place as a preferred model for String Theory's extra dimensions. Shing-Tung Yau is the Fields Medallist godfather of the eponymous manifolds and Steve Nadis had the unenviable task of writing it all down so that the rest of us could have a prayer of understanding it. He also did the interviews and fleshed out the physics side. The best way to review this book is just to explain what it says chapter by chapter.
Chapter 1: The universe is a big place, maybe infinite. Even if its overall curvature suffices to close it, observations suggest that its volume may be more than a million times the spherical volume of radius 13.7 billion light year we actually see. The unification programme of theoretical physics doesn't really work, however, if it's confined simply to three large spatial dimensions plus time. It turns out that replacing the point-like objects of particle physics with tiny one-dimensional objects called strings, moving in a 10 dimensional spacetime may permit the unification of the electromagnetic, weak and strong forces plus gravity. Well, today it almost works.
We see only four space-time dimensions. Where are the other six? The suggestion is that they are compactified: rolled up to be very small. But that's not all, to make the equations of string theory valid, the compactified six dimensional surface must conform to a very special geometry. That is the subject of the rest of the book.
Chapter 2: Yau was born in mainland China in 1949. His father was a university professor but the pay was poor and he had a wife and eight children to support. When Yau was 14 his father died leaving the family destitute: Yau's destiny seemed to be to leave school and become a duck farmer to pay his way but in a flash of inspiration he decided instead to become a paid maths tutor, teaching as he was learning. Yau's astounding talent led him from this humble background to the University of California at Berkeley by the time he was 20. As well as autobiographical details, this chapter also outlines the idea of a metric on curved spaces, introducing Einstein's theory of gravity.
Chapter 3: Yau's early work at Berkeley was in the area of geometric analysis, used in the proof of the Poincare conjecture (1904). This conjecture states that a compact three dimensional space is topologically equivalent to a sphere if every possible loop which can be drawn in that space can be shrunk to a point without tearing. The conjecture was proved in 2002 by the controversial Russian mathematician Grisha Perelman. Work in this area set the scene for Yau's celebrated proof of the Calabi conjecture: that what subsequently became known as `Calabi-Yau' (CY) spaces actually exist.
Chapter 4: The Calabi conjecture is simple to state if not to understand: it asks whether a complex Riemann surface (conformal, orientable) which is compact (finite in extent) and Kähler (the metric is Euclidean to second order) with vanishing first Chern class has a Ricci-flat metric. All these concepts are explained in this chapter. One of the more interesting features of a space satisfying Calabi's conjecture (if it existed) was that it would satisfy Einstein's vacuum field equations automatically.
Chapter 5. Yau initially didn't believe the Calabi conjecture and at a conference held at Stanford in 1973 went so far as to give a seminar "disproving" it. Calabi contacted Yau a few months later asking for details and Yau set to furious work, the argument slipping out of his hands the harder he tried to make it rigorous. Yau concluded that in fact the conjecture must be correct and spent the next three years working on the problem. In 1976 he got married and on his honeymoon the last piece of the puzzle dropped into place. The conjecture was proved correct.
Chapter 6. What Yau had proved was a piece of mathematics but he was sure there must be applications in theoretical physics. However, nothing happened until 1984. Parallel developments in string theory (ST) had determined that ten dimensions were needed to allow sufficiently diverse string vibrations to occur to capture the four fundamental forces and to induce `anomaly cancellation'. The search was on for a six dimensional compactified space to complement four dimensional space-time. The chapter describes how physicists came to CY spaces via supersymmetry and holonomy.
CY manifolds within ST are very small (a quadrillion times smaller than an electron) and are riddled with multidimensional holes (up to perhaps 500). The way strings wrap around the CY surface, threading through holes, is intended to reproduce observed particles and their masses. This has proven a fraught task as it requires a very special CY manifold to even get close. Yau has estimated there might be 10,000 different manifolds but no-one really knows.
The chapter closes with a discussion of M-theory, Edward Witten's framework for uniting the five different string theories developed in the 1990s. M-theory is defined in 11 dimensions and includes `branes' of anything from 0-9 dimensions. Apparently the universe could have 10 and 11 dimensions simultaneously but the mathematics (via CY spaces) works better in 10.
Chapter 7 discusses a challenge to the applicability of CY spaces due to the quantum field theory requirement for conformal and scale invariance. The CY metric doesn't (without tweaking) allow for this. This research led to a concept called mirror symmetry which associates CY manifolds with distinct topologies with the same Conformal Field Theory (CFT). This proved important for calculation.
Chapter 8 talks about the success of ST in deriving the Bekenstein-Hawking formula for (supersymmetric) black hole entropy. The very large number of required black hole microstates are constituted by wrapping branes around sub-surfaces of a CY manifold to build the black hole. The chapter ends by extending these ideas to the celebrated AdS/CFT correspondence.
Chapter 9 notes that ST has yet to reproduce the Standard Model (SM) and recounts some of the attempts being made. Yau's favourite is E8 x E8 heterotic ST and the technique is to break the many symmetries of E8 down to the 12 required by the SM [SU(3) with 8D symmetry, 8 gluons; SU(2) with 3D symmetry, W+, W-, Z; U(1) with 1D symmetry, photon]. We are not there yet.
Chapter 10 talks about mechanisms to keep the compactified dimensions small when energetically they would prefer to be large. The CY manifolds are stabilised by quantised fluxes. Suppose there are 10 values (0-9) for a flux loop and 500 holes in a CY manifold then there are 10 ** 500 different stable states. This extraordinary crude estimate has been widely publicised as "The Landscape Problem" for those who were hoping that there would be exactly one CY model for the universe. Yau is unimpressed, never having believed in such uniqueness in the first place. Chapter 11 continues the theme of `explosive decompactification' and recommends not being around if and when it happens.
Chapter 12 surveys the search for hidden dimensions. They may be visible `out there' for telescopes to pick up. Alternatively there's the LHC. Chapter 13 is an essay on truth and beauty in mathematics.
The final chapter raises a deep question. CY manifolds are solutions to Einstein's gravitational field equations in a vacuum. But Einstein's theory is classical - smooth all the way down (except for rare singularities). However, the QM view of space-time at the Planck scale is anything but smooth: the term `quantum foam' has been coined. What kind of geometry - quantum geometry - could model this?
Yau's view is that at present no-one has much of a clue although he describes some ideas exploring CY topology changes via singularity introduction - the flop transition -which could shed some light on what quantum geometry could look like.
In summary this is not a book for the faint-hearted. It gives a mountain-top view of the research area which is Calabi-Yau theory and its application to String Theory. One never forgets however how much inaccessible mathematics and physics lies behind Steve Nadis's persuasive and fluent writing.
Chapter 1: The universe is a big place, maybe infinite. Even if its overall curvature suffices to close it, observations suggest that its volume may be more than a million times the spherical volume of radius 13.7 billion light year we actually see. The unification programme of theoretical physics doesn't really work, however, if it's confined simply to three large spatial dimensions plus time. It turns out that replacing the point-like objects of particle physics with tiny one-dimensional objects called strings, moving in a 10 dimensional spacetime may permit the unification of the electromagnetic, weak and strong forces plus gravity. Well, today it almost works.
We see only four space-time dimensions. Where are the other six? The suggestion is that they are compactified: rolled up to be very small. But that's not all, to make the equations of string theory valid, the compactified six dimensional surface must conform to a very special geometry. That is the subject of the rest of the book.
Chapter 2: Yau was born in mainland China in 1949. His father was a university professor but the pay was poor and he had a wife and eight children to support. When Yau was 14 his father died leaving the family destitute: Yau's destiny seemed to be to leave school and become a duck farmer to pay his way but in a flash of inspiration he decided instead to become a paid maths tutor, teaching as he was learning. Yau's astounding talent led him from this humble background to the University of California at Berkeley by the time he was 20. As well as autobiographical details, this chapter also outlines the idea of a metric on curved spaces, introducing Einstein's theory of gravity.
Chapter 3: Yau's early work at Berkeley was in the area of geometric analysis, used in the proof of the Poincare conjecture (1904). This conjecture states that a compact three dimensional space is topologically equivalent to a sphere if every possible loop which can be drawn in that space can be shrunk to a point without tearing. The conjecture was proved in 2002 by the controversial Russian mathematician Grisha Perelman. Work in this area set the scene for Yau's celebrated proof of the Calabi conjecture: that what subsequently became known as `Calabi-Yau' (CY) spaces actually exist.
Chapter 4: The Calabi conjecture is simple to state if not to understand: it asks whether a complex Riemann surface (conformal, orientable) which is compact (finite in extent) and Kähler (the metric is Euclidean to second order) with vanishing first Chern class has a Ricci-flat metric. All these concepts are explained in this chapter. One of the more interesting features of a space satisfying Calabi's conjecture (if it existed) was that it would satisfy Einstein's vacuum field equations automatically.
Chapter 5. Yau initially didn't believe the Calabi conjecture and at a conference held at Stanford in 1973 went so far as to give a seminar "disproving" it. Calabi contacted Yau a few months later asking for details and Yau set to furious work, the argument slipping out of his hands the harder he tried to make it rigorous. Yau concluded that in fact the conjecture must be correct and spent the next three years working on the problem. In 1976 he got married and on his honeymoon the last piece of the puzzle dropped into place. The conjecture was proved correct.
Chapter 6. What Yau had proved was a piece of mathematics but he was sure there must be applications in theoretical physics. However, nothing happened until 1984. Parallel developments in string theory (ST) had determined that ten dimensions were needed to allow sufficiently diverse string vibrations to occur to capture the four fundamental forces and to induce `anomaly cancellation'. The search was on for a six dimensional compactified space to complement four dimensional space-time. The chapter describes how physicists came to CY spaces via supersymmetry and holonomy.
CY manifolds within ST are very small (a quadrillion times smaller than an electron) and are riddled with multidimensional holes (up to perhaps 500). The way strings wrap around the CY surface, threading through holes, is intended to reproduce observed particles and their masses. This has proven a fraught task as it requires a very special CY manifold to even get close. Yau has estimated there might be 10,000 different manifolds but no-one really knows.
The chapter closes with a discussion of M-theory, Edward Witten's framework for uniting the five different string theories developed in the 1990s. M-theory is defined in 11 dimensions and includes `branes' of anything from 0-9 dimensions. Apparently the universe could have 10 and 11 dimensions simultaneously but the mathematics (via CY spaces) works better in 10.
Chapter 7 discusses a challenge to the applicability of CY spaces due to the quantum field theory requirement for conformal and scale invariance. The CY metric doesn't (without tweaking) allow for this. This research led to a concept called mirror symmetry which associates CY manifolds with distinct topologies with the same Conformal Field Theory (CFT). This proved important for calculation.
Chapter 8 talks about the success of ST in deriving the Bekenstein-Hawking formula for (supersymmetric) black hole entropy. The very large number of required black hole microstates are constituted by wrapping branes around sub-surfaces of a CY manifold to build the black hole. The chapter ends by extending these ideas to the celebrated AdS/CFT correspondence.
Chapter 9 notes that ST has yet to reproduce the Standard Model (SM) and recounts some of the attempts being made. Yau's favourite is E8 x E8 heterotic ST and the technique is to break the many symmetries of E8 down to the 12 required by the SM [SU(3) with 8D symmetry, 8 gluons; SU(2) with 3D symmetry, W+, W-, Z; U(1) with 1D symmetry, photon]. We are not there yet.
Chapter 10 talks about mechanisms to keep the compactified dimensions small when energetically they would prefer to be large. The CY manifolds are stabilised by quantised fluxes. Suppose there are 10 values (0-9) for a flux loop and 500 holes in a CY manifold then there are 10 ** 500 different stable states. This extraordinary crude estimate has been widely publicised as "The Landscape Problem" for those who were hoping that there would be exactly one CY model for the universe. Yau is unimpressed, never having believed in such uniqueness in the first place. Chapter 11 continues the theme of `explosive decompactification' and recommends not being around if and when it happens.
Chapter 12 surveys the search for hidden dimensions. They may be visible `out there' for telescopes to pick up. Alternatively there's the LHC. Chapter 13 is an essay on truth and beauty in mathematics.
The final chapter raises a deep question. CY manifolds are solutions to Einstein's gravitational field equations in a vacuum. But Einstein's theory is classical - smooth all the way down (except for rare singularities). However, the QM view of space-time at the Planck scale is anything but smooth: the term `quantum foam' has been coined. What kind of geometry - quantum geometry - could model this?
Yau's view is that at present no-one has much of a clue although he describes some ideas exploring CY topology changes via singularity introduction - the flop transition -which could shed some light on what quantum geometry could look like.
In summary this is not a book for the faint-hearted. It gives a mountain-top view of the research area which is Calabi-Yau theory and its application to String Theory. One never forgets however how much inaccessible mathematics and physics lies behind Steve Nadis's persuasive and fluent writing.
38 von 40 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
AN EXHILIRATING AND CHALLENGING BOOK!
7. September 2010
Format:Gebundene Ausgabe
Simply put, this is a sensational book. The authors expertly guide readers through some really difficult terrain concerning "extra" dimensions, string theory, geometry, and topology. Most of the subject matter was new to me, and I am amazed that, with some effort, I was able to understand this unfamiliar material quite well. I regard that as a tribute to the authors' considerable expository skills. I'm really glad a friend recommended THE SHAPE OF INNER SPACE to me. And I'm now returning the favor by recommending it to anyone interested in our universe and the possibility of there being higher dimensions that might control everything, behind the scenes as it were. If you stick with this book, as I did, you will be amply rewarded.
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