Mathematische Logik (Mathematik Kompakt) [Taschenbuch]

Das Buch enthält ungefähr den Stoff einer umfangreichen viersemestrigen Vorlesung, die der Verfasser im Laufe eines Jahrzehnts viermal in sehr ähnlicher Form in Freiburg gehalten hat. Es dürfte sich vor allem an (angehende) Mathematiker und theoretische Informatiker richten. Mit seiner Konzentration auf das Wesentliche eignet es sich hervorragend als Grundlage für eine Vorlesung sowie für Studierende zur Repetition des Stoffs einer Vorlesung, die ein ähnliches Spektrum abdeckt. Oder wahrscheinlicher: einen Teil davon. (Die Worte "zweisemestrig" und "Selbststudium", die in der Beschreibung der Serie vorkommen, sind insofern beide für diesen Band irreführend.)

Im 1. Kapitel (Prädikatenkalkül) sind die ersten vier Abschnitte, bis hin zum Vollständigkeitssatz, absoluter Kernstoff. Die restlichen drei Abschnitte (Sequenzenkalkül, Herbrandscher Satz, Resolutionsmethode) kann man dagegen als optional ansehen.

Das 2. Kapitel (Mengenlehre) baut auf dem Kernstoff des ersten auf und enthält in drei Abschnitten nur die allernötigsten Grundlagen, um im vierten Abschnitt die Unvollständigkeitssätze für ZFC beweisen zu können. Das ganze Kapitel kann man als optional ansehen.

Das 3. Kapitel (Rekursionstheorie) zeigt in zwei Abschnitten die Äquivalenz einer besonders ausdrucksschwachen (rekursive Funktionen) mit einer besonders ausdrucksstarken (String-Registermaschinen) Form von Berechenbarkeit, um dann im dritten Abschnitt die rekursive Aufzählbarkeit einzuführen. Im vierten Abschnitt wird durch Einführung von effektiver Axiomatisierbarkeit und Entscheidbarkeit die Rekursionstheorie mit der Prädikatenlogik verknüpft. Der fünfte Abschnitt ist wiederum rein rekursionstheoretisch, zeigt aber letztlich, dass die rekursiven Funktionen arithmetisch sind, und schlägt somit den Bogen zum 4. und letzten Kapitel.

Das 4. Kapitel (Arithmetik) wendet die Prädikatenlogik auf die natürlichen Zahlen an und baut dabei auch auf dem 3. Kapitel auf. Der erste Abschnitt enthält einen an dieser Stelle schnellen und eleganten Beweis des ersten Unvollständigkeitssatzes für Teiltheorien der Theorie der natürlichen Zahlen. Die letzten drei Abschnitte des Buchs führen dann die Peanoarithmetik ein und enden mit dem zweiten Unvollständigkeitssatz für die Peanoarithmetik, bewiesen als Spezialfall des Satzes von Loeb.

Wie von Martin Ziegler nicht anders zu erwarten, sind alle Definitionen und Notationen elegant, auf dem neuesten Stand und bestens aufeinander abgestimmt. (Mich persönlich hat etwas gestört, dass charakteristische Funktionen genau umgekehrt wie sonst üblich definiert sind, aber auch das hat natürlich seinen Grund.) Auf dem engen Raum von ca. 120 Seiten kann man keine ausführliche Behandlung von Beispielen erwarten; diese sind zusammen mit wichtigem Material, das im engen Rahmen der Vorlesung keinen Platz fand, in die insgesamt 82 Übungsaufgaben verbannt. Beispielsweise gibt es neun Aufgaben zur Aussagenlogik, die hier als die quantorenfreie Logik der booleschen Algebren erscheint; eine Aufgabe zur Äquivalenz von Auswahlaxiom und Zornschem Lemma; eine Aufgabe zur Cantorschen Normalform von Ordinalzahlen; je zwei Aufgaben zu Turingmaschinen und der Ackermannfunktion; je eine Aufgabe zur Kleeneschen Normalform, dem Kleeneschen Fixpunktsatz und der arithmetischen Hierarchie. Jedes dieser Themen lässt sich in einer Vorlesung mühelos einfügen, wenn dafür an anderer Stelle gekürzt oder der Umfang auf zwei Semester verlängert wird.

Auch an der Aufmachung ist nichts auszusetzen. Die Zahl der Druckfehler in der ersten Auflage ist dank der vorausgegangenen Vorlesungsskripte erfreulich gering, und der ausführliche Index (6 Seiten) deckt auch Notation und Übungsaufgaben ab. Das Druckbild ist platzsparend aber übersichtlich. Definitionen sind hellgrau, Resultate dunkelgrau unterlegt und daher mühelos wiederzufinden.

Abschließend bietet sich ein Vergleich mit dem ebenfalls in Freiburg entstandenen ausführlichen und umfangreichen Klassiker "Einführung in die mathematische Logik" von Ebbinghaus, Flum und Thomas an. Im Vergleich fehlen dem vorliegenden Werk zunächst einmal einige ausführlich behandelte Beispiele, die philosophisch orientierten Bemerkungen sowie die relativ ausführlichen Ausblicke in Richtung höhere Logiken (bis hin zum Satz von Trachtenbrot), Modelltheorie (Satz von Fraïssé) und universelle Logik (Sätze von Lindström). Dafür behandelt es die Mengenlehre und die Peanoarithmetik zwar immer noch sehr knapp, aber doch ausführlicher. Insofern ist es eindeutig mehr am mathematischen Mainstream ausgerichtet.

Ein noch wesentlicherer Unterschied ist aber, dass Ziegler die großen Zusammenhänge so klar herausstellt, wie das überhaupt nur möglich ist, während man bei Ebbinghaus, Flum und Thomas zwischen der konsequent durchgehaltenen hyperpräzisen Notation und den ausführlichst ausgeführten Beweisdetails nur schwer den Blick aufs große Ganze behalten kann. Ein Dozent, der eine Vorlesung auf dem früheren Werk aufbaut, muss eine Auswahl treffen, Beweise sinnvoll kürzen und den Sinn für die großen Zusammenhänge vermitteln, und kann dabei darauf vertrauen, dass die Studierenden die Details notfalls jederzeit nachlesen können. Beim vorliegenden Buch muss man dagegen die meisten Beweise etwas ausführlicher machen -- nicht, weil sie sonst unverständlich wären, sondern eher um das Tempo human zu halten --, Beispiele ansprechen und mit eigenen Worten die Zusammenhänge erläutern, die hier zwar beim Lesen ins Auge springen, beim Tafelvortrag im Laufe eines Semesters aber explizit genannt werden müssen.

(Der Rezensent hat in Freiburg studiert, kennt den Verfasser persönlich, und hat bereits eine im Wesentlichen auf dem Buch aufbauende Vorlesung gehalten.)