Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten. Eine Einführung mit Ausblicken [Taschenbuch]

Das Buch „Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten“ des von Wolfgang Ebeling enthält nicht nur auf den ersten Blick sehr viel Lernstoff. Es entspricht in etwa dem Umfang von drei – an die Funktionentheorie einer komplexen Variablen anschließenden – Vorlesungen. Wie der Titel richtig anzeigt, werden diese drei großen Einheiten auch weitgehend unabhängig voneinander präsentiert. Von vornherein ist klar, dass das Unterbringen von so viel Wissensmaterial auf weniger als 300 Seiten eine gewisse Kompaktheit erzwingt – was hinwiederum bedeutet, dass man das Buch nicht ohne weiteres durcharbeiten kann, um Neues zu lernen. Der parallele Besuch einer Vorlesung zum Thema (bzw. entsprechendes Vorwissen) sind hier also unerlässlich. In den ersten zwei von insgesamt fünf Kapiteln wird das rein funktionentheoretische Programm gespielt. Dabei geht es im Wesentlichen um Riemannsche Flächen sowie die Grundwerkzeuge der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Schon hier wird der chronische "Platzmangel", den das Werk kennzeichnet, deutlich: Die wenigen Beispiele sind zwar hilfreich, aber eben zu spärlich gesät. Die drei verbleibenden Kapitel befassen sich dann mit Differentialtopologie und Singularitäten n und sind als weiter führende Teile naturgemäß schwieriger in der Handhabung und zum Teil deutlich abstrakter gehalten. Auch hier würde man sich an manchen Stellen mehr Beispiele wünschen, um ein besseres Gefühl für die verschiedenen Begriffe zu gewinnen. Die Anwendung des im dritten Kapitel entwickelten Begriffsapparates auf das Problem der Klassifikation von einfachen Singularitäten z.B. klärt erst einiges übrig gebliebenen Fragen aus dem vorangegangenen Kapitel. Vielleicht könnte man ein paar Spezialfälle vorziehen, um Singularitäten „greifbarer“ zu machen. Damit verbunden ist das Problem der Zeichnungen: Da es definitionsgemäß um Sachverhalte im Mehrdimensionalen geht, ist eine zufrieden stellende Darstellung schwierig. Die im Buch erhaltenen Abbildungen sind jedoch von großem Nutzen, und auch hier würde es sich lohnen noch mehr davon einzubinden. Dass in verschiedenen Kapiteln Begriffe sukzessive verallgemeinert werden – wie z.B. der der Fläche oder der Mannigfaltigkeit – und dass Definitionen und Sätze dabei fast wortgleich wiederholt werden, stört nicht, denn notorisch mit dem jeweils allgemeinsten denkbaren Fall anzufangen überfordert die Leserschaft nur unnötig. Anderseits wird ziemlich viel mit Garben und Differentialen gearbeitet. Es würde natürlich jeden Rahmen sprengen, auch hier die Theorie erst zu entwickeln; allerdings wäre es besser, ein paar technische Beweise, mit Hinweis auf allgemeinere Resultate, auszulassen und dafür andere Stellen extensiver zu behandeln. Auf jeden Fall würde das ganze Buch sehr von begleitenden Aufgaben profitieren, die eben auch als Beispielsammlung dienen könnten; bei einer Neuauflage sollte unbedingt daran gedacht werden. Außerdem erschwert das getrennte Nummerieren von Sätzen, Korollaren usw. das Verfolgen von Querverweisen erheblich. Auch das müsste behoben werden. Insgesamt handelt es sich jedoch um ein solides Werk, das nach dem Besuch entsprechender Vorlesungen durchaus gut zur Prüfungsvorbereitung oder zum Nachschlagen dienen kann. Rezensent: Markos Mitsos