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Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze: Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis [Taschenbuch]

Dirk W. Hoffmann
4.5 von 5 Sternen  Alle Rezensionen anzeigen (4 Kundenrezensionen)
Preis: EUR 24,95 kostenlose Lieferung. Siehe Details.
  Alle Preisangaben inkl. MwSt.
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Kurzbeschreibung

26. August 2012 3827429994 978-3827429995 2013

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.


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Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze: Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis + Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik + Der Beweis des Jahrhunderts: Die faszinierende Geschichte des Mathematikers Grigori Perelman
Preis für alle drei: EUR 72,85

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Produktinformation

  • Taschenbuch: 368 Seiten
  • Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Auflage: 2013 (26. August 2012)
  • Sprache: Deutsch
  • ISBN-10: 3827429994
  • ISBN-13: 978-3827429995
  • Größe und/oder Gewicht: 23,4 x 15,4 x 2,2 cm
  • Durchschnittliche Kundenbewertung: 4.5 von 5 Sternen  Alle Rezensionen anzeigen (4 Kundenrezensionen)
  • Amazon Bestseller-Rang: Nr. 74.155 in Bücher (Siehe Top 100 in Bücher)
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Produktbeschreibungen

Rezension

...eine didaktisch sehr gut gemachte Darstellung.
es wird ein Minimum an Vorwissen vorausgesetzt
Prof. Dr. Matthias Homeister, FH Brandenburg

Eine gut verständliche, gut lesbare und klare Ausarbeitung der Goedelschen Sätze.
Prof. Dr. Wolfgang Henrich, Technische Hochschule Mittelhessen

Buchrückseite

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.


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21 von 21 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
5.0 von 5 Sternen Beat Thoma 3. Januar 2013
Von Thoma
Format:Taschenbuch
Ein erneutes Meisterwerk zur Logik (und ihrer Geschichte) von Dirk W. Hoffmann. Als Mathematiker habe ich mich seit längerem mit dieser Thematik beschäftig. Wäre dieses Buch (sowie Hoffmanns erstes Buch) aber schon früher erschienen, hätte ich mir wohl einige Jahre (und hunderte Seiten Literatur) ersparen können. Der didaktische Aufbau und die historische Herleitung der Probleme (und deren Lösung) sind einmalig.

Das Buch zeigt eindrücklich, dass die grundlegenden Ideen (von Gödel, Russell und vielen anderen Spitzenkräften) bei einer sauberen Darstellung eigentlich sehr einfach verständlich sind, in der gängigen Literatur dazu aber parktisch immer durch einen Schleier von Ungenauigkeiten oder Unvollstänigkeiten (allerdings nicht im gödelschen Sinn) vernebelt werden. Sehr hilfreich ist auch die Einbettung des Hauptthemas in eine Uebersicht der Logik ganz allgemein.

Gäbe es mehr Mathematikbücher bzw. Lehrbücher im Allgemeinen in dieser Form, wäre die Wissenschaft wohl wesentlich weiter als heute.
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12 von 12 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
5.0 von 5 Sternen Grossartig 5. Januar 2013
Format:Taschenbuch|Verifizierter Kauf
Hoffmanns Buch kommt wie gerufen für alle denen, wie mir, Hofstadters Buch über Gödel (Gödel Escher Bach) nicht gefallen hat. Das Buchs Hofstadters war zu dick und zu populär. Nagel war schon besser, aber Gödel selbst war immer noch klarer, klarer als Hofstadter sowie als Nagel. Seit kurzem gibt es nun also Hoffmanns Buch, das bringt genau dass worauf ich gewartet habe. Es basiert sich auf die originelle Text von Gödel selbst. Dazu bekommen wir zuerst die Hintergründe, dann die Originaltext und nachher die Verdeutlichung. Die altmodische Notation ist übersetzt" worden in moderne Notation, sodass der Leser sich konzentrieren kann auf was wichtig ist.

Die Art und Weise worauf Gödels Manuskript in das Buch aufgenommen worden ist, ist fabelhaft. Mit geschickten typographischen mitteln ist die Unterscheid zwischen Gödels Text und Hoffmanns text immer klar. Und was wo zu finden ist ist auch ganz deutlich. (Übrigens ist es meiner Meinung nach nur möglich das so zu machen weil Gödel das Original schon so hervorragend strukturiert hatte.)

Ich empfehle es nicht nur jeden Mathematiker die sich interessiert für Gödels Arbeit, sondern auch jedem die daran interessiert ist wie man alte Manuskripten zu leben erwecken kann.
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6 von 7 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
5.0 von 5 Sternen Hervorragend in jeder Hinsicht 23. Juni 2013
Von monica
Format:Taschenbuch|Verifizierter Kauf
Das Buch ist hervorragend: Jede Aussage der Gödel'schen Unvollständigkeitssätze wird analysiert, erklärt und -falls nötig - in heutige Schreibweise umgesetzt. Der Inhalt wird jedem Leser mit geringen (undergraduate) mathematischen Grundlagen verständlich.
Die Entstehung des Problems in der Geschichte des menschlichen Denkens wird auf faszinierende Weise dargestellt.
Die Beschreibung der wissenschaftlichen Kreise in den ersten Jahrzenten des XX Jahrhunderts, das Streben nach Beweisbarkeit und Wahrheit, das Mitwirken Hilberts, Russells usw. usw. fesseln wie der schönste Roman.

Das Buch ist so schön geschrieben wie Heusers Lehrbücher der Analysis
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7 von 142 Kunden fanden die folgende Rezension hilfreich
3.0 von 5 Sternen Nelson; Non-Standard-Analysis ( IST ; NSA ) 21. November 2012
Format:Taschenbuch
Ich möchte mich vor stellen; ich bin promovierter Physiker. Douglas Hofstädter " GEB " ist ja Sohn eines Nobelpreisträgers; der hat ein Buch über Gödel verfasst. Ich selber habe keine Preise; bei mir reichts nur zur Rezension bei Amazon ( Najaa; ich war mal " Regionalsieger " in der Mathe-Olympiade. )
Gleich vorweg. Ich habe dieses Buch ( noch ) nicht gelesen; dieses Manko gleiche ich aus mit 3 Sternen Bewertung. Mag dies eine historische Führung durch Gödels Beweis sein, wie der Klappentext verheißt. Mathematik ist keine historische Wissenschaft; und in diesem Sinne möchte ich dem Leser ein paar unortodoxe Ideen näher bringen, von denen ich einmal unterstelle, dass sie die Lektüre eines Gödelbuches erleichtern.
Worum geht es überhaupt; in " welchem Film sind wir? " Wer die Gödelarbeit verstehen will, dem empfehle ich immer, zuerst von Edgar Allen Poe die Kurzgeschichte zu lesen " The Red Death " Genau darum geht es nämlich. In der Zeitschrift Spektrum fand ich folgende Anekdote:

" Gödel muss essen, sonst stirbt er. Wenn er aber etwas zu sich nimmt, könnte sein Essen ja vergiftet sein ... "

Gödel muss man sich als Kauz vor stellen. Der einzige Unterschied zu Karl Valentin, den ich sehe: Valentin war Schreiner, Gödel Mathematiker ... Valentin bewirkte nichts, außer die Lachmuskeln seiner Zuschauer zu reizen. Und Gödels Ergebnisse sind derart schrullig, dass die mathematische Fachliteratur ( Algebra & Topologie ) darüber zur Tagesordnung über geht.
Valentin spielte sich selbst; und Gödel gab seinen Beweisen das Gepräge seiner tief innerlich zerrissenen Persönlichkeit.
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