Der Itô-Kalkül: Einführung und Anwendungen (Springer-Lehrbuch Masterclass) [Taschenbuch]

Die untenstehende Rezension gibt nur ein sehr unvollständiges Bild. Das Buch ist sicherlich nicht für "den Anwender" geschrieben. Eine sehr gute mathematische Vorbildung ist eine absolute Voraussetzung, aber das heisst nicht, dass das Buch schlecht ist.

In der Tat erwähnt der Autor, dass die stochastische Integration und SDEs wegen ihrer Anwendungen in den Finanzmärkten einen starken Auftrieb bekommen haben und somit auch Nichtmathematiker mit dem Stoff konfrontiert werden. Andererseits ist der Großteil der Literatur noch nicht auf einem Stand, diesen Stoff auch oben beasagter Gruppe leicht zugänglich zu machen (das stimmt allerdings nur bedingt : ich gebe am Ende einige Bücher an, die das tun). Viele Bücher sind aber eben für Mathematiker geschrieben und wählen einen Zugang über Semimartingale. Die stochastische Integration wird dann für eine größere Klasse von Prozessen definiert. Die Vorarbeit dazu ist enorm und schreckt auch Mathematiker ab.

Andererseits spielt die Integration bzgl. der Brownschen Bewegung immer noch die wichtigste Rolle in den Anwendungen, sodass viel Ballast abgeworfen werden kann, wenn man sich nur darauf konzentriert. Genau das tut Deck in seinem Buch.

Meiner Meinung nach ist das Buch sehr gut aufgebaut :

1) Zunächst gibt er eine kurze Zusammenfassung über die wichtigsten Definitionen und Sätze der Maßtheorie und der W-Theorie. Das macht des Buch self contained, aber der Leser sollte diese Begriffe schon mal früher verinnerlicht haben. Sonst muss ein ergänzendes Buch über die Grundlagen der W-Theorie benutzt werden (etwa Klenke 2006).

2) Jetzt kommt das didaktisch Geschickte. Er definiert zunächst das Wiener-Integral. Dieses Integral lässt als Integranden zunächst nur deterministische Prozesse (also Funktionen) zu, die bzgl. der BB integriert werden. Dies ist insofern klug, und steht im Gegensatz zur Behauptung der anderen Rezension, dass die Sätze und Lemmata nicht genügend motiviert sind, als dass in vielen Anwendungen auch nur deterministische Funktionen als Integranden vorkommen (solch ein Integral kann man auch als Rauschen bezeichnen). Im übrigen ist es das einzige Buch, dass sich wirklich die Zeit nimmt, viele Nebenresultate zu beweisen, die in anderen Büchern mit Händerudern abgetan werden, weil sie schnell zu weiterführenden ERgebnissen kommen wollen. Der Aufbau verläuft wie folgt : Integral für Treppenfunktionen definieren -> zeigen dass Treppenfunktionen dich im L^p liegen, also Funktionen durch Treppenfunktionen beliebig gut approimiert werden können -> über Grenzwertbildung das Integral für Treppenfunktionen auf Funktionen aus L^p erweitern. Hier ist nichts unmotiviert! Allein mit diesem Integral hat der Leser schon einiges zur Hand!

3) Einige Anwendungen runden den ersten Schritt ab. Er betrachtet klassische Beispiele sowie die physikalische BB. Zugegeben, hier hätte er etwas mehr machen können und mehr Beispiele bringen können.

4) Er definiert nun das Ito Integral, welches auch stochastische Prozesse als Integranden zulässt. Dies verläuft mit Ausnahme einiger delikaten Details analog zum Wienerintegral. Hier sieht man auch, wie sich die Konzepte ähneln bzw. wo sie sich unterscheiden. Das ist enorm hilfreich.

5) Damit bewaffnet können nun allgemeine SDEs betrachtet werden. Hier hält er sich recht kurz und gibt nur einen kleinen Überblick. Das reicht aber fürs Erste.

6) Weitergehende Themen wie Martingale, Zeittrafo und exponentielle Martingale (wichtig für die Finanzmathematik) werden besprochen. Diese Kapitel können als gelungen angesehen werdne.

7) Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit stetiger Optionspreistheorie. Dieses Kapitel ist wahrscheinlich als aufmacher gedacht, um einen größeren Leserkreis zu erreichen. Immerhin sieht man hier, wozu man die erlernten Konzepte benötigt.

Fazit : Die mathematischen Grundlagen der stochastischen Integration bzgl. der BB werden hier exzellent dagestellt. Es bleiben kaum Fragen übrig. Damit bewaffnet kann man dann weitergehende Konzepte studieren, speziell deswegen, weil mittlerweile auch allgemeine Levy-Prozesse en vogue sind und man hier bzgl. Punktprozesse integrieren muss. Man kommt also am allgemeinen Integral leider nicht vorbei.

Literatur :

-Oksendal : Stochastic differential equations. Ein gutes Buch, das mit dem vorliegenden gelesen werden kann. Beide ergänzen sich gut.
-Ubo Wiersema : Brownian motion calculus. Das ist bislang das Buch mit den geringsten mathematischen Voraussetzungen. Für den Anfänger gibt es zur Zeit nichts besseres. Gibt einen guten Überblick der wichtigsten SDE s und ihrer Lösungen. Sehr zu empefehlen für einen intuitiven Einstieg.

Thomas Decks Buch soll einem Anwender (Wichtig!) einen Einstieg in den Itô-Kalkül bieten, ein essentielles Werkzeug in der stoch. Analysis. Jeder, der sich mit fortgeschrittener Modellbildung unter Einschluss zufälliger Schwankungen beschäftigt, wird irgendwann einmal auf den Itô-Kalkül stoßen.
Positives:
+Übungsaufgaben in den Text integriert, das hilft einem motiviert zu bleiben
+Alles wird bewiesen
+Kapitel mit Vorkenntnissen
+Notationsindex
Negatives:
-Beweise z.T. extrem unmotivierend geschrieben, man wählt einfach irgendeinen Weg, der sicherlich zum Ziel führt, aber nicht immer verständlich ist.
-Obwohl ich kein Anwender bin, hatte schon ich mit dem Abstraktionsgrad so meine liebe Not, wie mag das erst dem Anwender gehen
-Flut von Lemmata, Korollaren.
-Bemerkungen im Text unübersichtlich gegliedert
-Rechtschreibfehler en masse
-Anwendungsbesipiele zumeist für Anwender, Mathematiker kommen da vermutlich zu kurz.

Fazit: Der Autor war sich scheinbar nicht so ganz im Klaren darüber, für wen er eigentlich schreibt. Einerseits legt er die Latte bzgl. math. Rigorosität derart hoch, dass selbst mathematisch übermäßig vorgebildete (zumindest laut Vorwort) sich schwer tun, ein Bild vom "großen Ganzen" zu erhalten. Andererseits mögen einem Mathematiker die Anwendungen oftmals nicht direkt etwas nutzen. Als Beispel weise ich hier auf Kapitel 3 hin, dessen Anwendung sich zwar thermodynamisch, ergo physikalisch, also eig. für Mathematiker eher verständlich, schimpft, aber im Wesentlichen eine Zusammenstellung von Fakten ist, die sich ein von Beweisen verwöhnter Mathemat eben schwer tut zu akzeptiert.
Füßr Mathematiker: Bedingt geeignet, wenn man die Beispiele aus anderen Fächern überspringt (-> 3 Sterne)
Für Anwender; Finger weg: Die Beweise erdrücken euch. (-> 1 Stern)
Mittel: 2 Sterne.